Maxwell's Equations

       電磁學領域中有一個非常有名的偏微分方程組，描述了電場、磁場與電荷密度及電流密度之間的關聯，就是由「電磁學之父」---英國物理學家馬克士威(James Maxwell)於1864年發表的馬克士威方程組(Maxwell's Equations)，經後人改良後於1884年成為了今日我們所看到的四個一階線性偏微分方程式所組成的版本。馬克士威方程組描述了以下四個重要的電磁學定律：

• 高斯定律(Gauss' Law)---電場如何由電荷生成
• 高斯磁定律(Gauss' Law for Magnetism)---磁單極並不存在(任何磁鐵必有南北極)
• 法拉第感應定律(Faraday's Law of Electromagnetic Induction)
• 馬克士威-安培定律(Maxwell-Ampère's Circuital Law)---證明光波也是電磁波

       因為有馬克士威方程組，現代的電力科技得以非常迅速地發展。儘管非常精確地描述需要借用到量子力學理論，而馬克士威方程組也僅是一種近似而已，然而日常生活中所見到的現象，用馬克士威方程組近似得到的差距是甚為微小。從數學性質來看，雖然以偏微分方程而言，「一階線性」是一種非常良好的性質，然而馬克士威方程組通常只能求出近似解(除了少部分有對稱性的)。

       馬克士威方程組還分成「微觀」(在真空中)與「宏觀」(在物質中)兩種型態，前者可以推導後者，也得以推測出原子性質與宏觀性質之間的關聯。

電磁學之父---英國物理學家馬克士威

高斯定律

       此定律是由德國知名數學家與物理學家高斯(德語: Johann Karl Friedrich Gauss)於1835年提出的(然而要過了近30年以後才被發表出來)，描述了穿越某個閉合曲面的淨電通量(單位時間內有多少電荷通過)等同於淨電荷除以電容率。數學角度上來看，則代表電場的散度是總電荷的密度除以一個常數。公式表示為

       高斯定律告訴我們，只要能找到電荷的分布，我們就能夠找出在某個位置的電場(即電荷與電荷之間交互作用的物理場)。從數學角度來看，根據高斯散度定理(Divergence Theorem)，微分型式等價於積分型式。其餘的馬克士威方程式也一樣。

高斯磁定律

           此定律則闡述了磁單極在宇宙中是不存在的。從微觀的角度來看，這代表「磁單極子」(Magnetic Monople, 也就是只帶有北極或是南極單一磁極的物質)不存在，數學角度上來看，則代表磁場的散度為0。公式表示為

      根據高斯磁定律，磁場也是一種向量場，而向量則代表磁場通過的方向，磁場的散度為0意思是說這是一種螺線向量場(Solenoidal Vector Field)，也就是說磁場是一種封閉式的向量場，把磁鐵一分為二，必然會產生出新的具有兩極的磁鐵，而不是只產生出僅有S極或是僅有N極的磁鐵。

      假設磁場散度不為0(也就是說磁單極子存在)，則磁場的散度將會與磁單極子的密度(磁荷密度)成正比，磁場將會呈現一種向外擴散的形式而非如下圖一樣不斷繞圈圈。

磁場線如圖所示為封閉型態(螺線向量場)，代表磁場的散度為0

法拉第電磁感應定律

        此定律於1831年由英國物理學家法拉第(Michael Faraday)發現並且發表，不過其實美國科學家亨利(Joseph Henry)在1830年比法拉第更早發現這個定律。電磁感應定律說明了任何封閉電路中的電動勢(Electromotive Force, emf,簡單來講就是電壓差)等於通過此電路之磁通量(磁場大小)的變化率。從數學上來看，磁通量變化率等於電場的旋度(Curl, 繞著某個點的旋轉程度)，公式為

      高中時的物理課應該有教過所謂的「右手定則」，從公式上來看就能解釋為何可以用「右手定則」電場與磁場之間的關聯了。此方程式的意義在於電場若與某平面呈現逆時針，則磁場隨著時間變化會更常指向平面(與旋度異號)。

右手開掌定則可以幫助學生簡單了解磁場(B)、電流(I)與受力(F)間的關係

       法拉第電磁感應定律一個很重要的應用就是發電機，利用磁鐵對於某個導電體轉動時產生的電動勢，電線上面又有連接負載(即電源兩端的電路元件，例如電池)，藉此產生電流。

發電機的結構

       出國時會遇到不同國家使用的電壓不同的問題，所以會用到變壓器，變壓器也是法拉第電磁感應定律的重要應用之一。在兩個導電體上安裝不同數量的線圈，讓電流通過時產生電壓差，是最簡單的變壓器運作原理。變壓器的兩端的電壓會與線圈圈數成正比。

變壓器的電路圖圖示

馬克士威-安培定律

               這是從安培定律(Ampère's Circuital Law) 延伸而來的，原先是法國物理學家安培(法語:André-Marie Ampère)於1826年提出的，內容主要闡述載流迴圈(電路)產生的磁場方向(安培右手定則)。更嚴謹的定義則是說明了電流與磁場沿著電路的路徑積分兩者之間的關聯。

安培右手定則圖解

       到了1861年，馬克士威認為原先的安培定律在電場含有時間的情況下不成立，因此他又重新推導了一次，將安培定律修正成符合電動力學的條件。馬克士威-安培定律的公式為

        根據馬克士威安培定律，有了位移電流的條件以後，可以準確地推測出光波也是電磁波的一種。位移電流並不是真正的電流，定義上是指電位移對時間的偏導數，而電位移是指某個電介質內的自由電荷產生的一種效應。因為位移電流能夠把光、電與磁結合成一體，而被視為近代物理學的一大重要里程碑。

參考資料與圖片來源:
[1] 台大數學系開放式課程高等微積分講義
[2] 政大應數所偏微分方程上課筆記
[3] 網路圖片1_磁場線
[4] 網路圖片2_右手開掌定則
[5] 網路圖片3_發電機
[6] 網路圖片4_變壓器電路圖
[7] 網路圖片5_安培右手定則
[8] 法拉第電磁感應定律_維基百科