Schrödinger Equation

      在量子力學領域，由奧地利物理學家薛丁格(德語:Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger)提出的薛丁格方程(德語:Schrödingergleichung)，是一種描述物理系統如何演化的偏微分方程式。薛丁格方程非常完備地描述了整個物理系統，小至粒子的量子行為，大至整個宇宙，薛丁格方程還可以分成「含時薛丁格方程」與「不含時薛丁格方程」兩種。

提出薛丁格方程，對量子力學有卓越貢獻的奧地利物理學家薛丁格

含時薛丁格方程(Time-Dependent Schrödinger Equation)

        含時薛丁格方程描述某量子的波函數如何隨時間演化。波函數是量子力學的一個非常重要的概念，是用來描述量子系統的狀態---量子態(Quantum State)的一項工具。有相當多與量子力學相關的重要謎團都與波函數有關，薛丁格方程則是可以描述波函數的行為，因此也是一種波方程(Wave Equation)的型態。最廣義的公式如下:

其中H代表哈密頓算子(Hamiltonian)---代表了波函數的總能量，Ψ代表波函數，i為虛數，h為描述量子大小的約化普朗克常數(Reduced Planck Constant)，讀音為"h-bar"，數值為1.0545718*10^(-34)焦耳•秒。

        在三維空間裡面，移動於某個純量勢的粒子可以用以下更具體的薛丁格方程描述為:

其中m代表量子質量，Ψ(r,t)代表某個參數是位置r與時間t的波函數，V(r)為參數為位置r的純量勢。倒三角形平方則是代表拉普拉斯算子(Laplace Operator)，也就是某函數所有的二階偏導函數的總和。

不含時薛丁格方程(Time-Independent Schrödinger Equation)

        不含時薛丁格方程與時間無關，它說明了波函數可以處於定態(Stationary State，即機率密度函數與時間無關的量子態)。若能解析這些定態則分析含時薛丁格方程也會更加容易，最廣義的不含時薛丁格方程為:

其中H一樣代表波函數的總能量，E則是指量子態的能量，是一個比例常數。此方程式又稱作「定態薛丁格方程」(Stationary State Schrödinger Equation)或是「能量特徵薛丁格方程」(Energy Eigen Schrödinger Equation)，前者已經說明是因為此時量子處在定態，後者則是從借用於線性代數的術語，特徵值(Eigenvalue)即能夠讓新向量與原本的向量能維持於同一條線上的比例常數。特徵"eigen"一詞來自於德語，意思是「自身的」，「有特徵的」，「個體的」。

       在三維空間裡面，移動於某純量勢的粒子可以用以下更具體的不含時薛丁格方程描述為:

物理意義

       薛丁格方程與海森堡不確定性原理(德語:Heisenbergsche Unschärferelation) (英語:Uncertainty Principle)有密不可分的關聯。在古典力學裡面，任何粒子都有確定的位置與動量(Momentum,即速度與質量的乘積)，但是依據薛丁格方程可以發現並非如此。從含時薛丁格方程中，我們能夠推算出波函數的機率分佈，因此可以預測出粒子在某時段位於某區域的機率。

        而薛丁格方程當中出現的波函數，我們可以從傅立葉級數發現，波長愈明確，則波的位置愈不明確 ；波的位置愈明確，則波長卻又愈不明確，而波長=波速*週期。這個結果就詮釋了海森堡不確定性的精神:粒子的位置與速度(動量)無法同時被確定。

參考資料:

[1] 政大應數所_偏微分方程上課筆記

[2] 薛丁格方程式_維基百科