Navier-Stokes Equation

         今年4月底在台灣上映的電影《天才的禮物》(Gifted)，主要在講述一個7歲的數學神童Mary Adler與她舅舅Frank Adler相依為命的故事。Frank希望Mary能夠過著一個正常的生活，並且與朋友們好好相處，然而Frank的母親，也就是Mary的外婆Evelyn Adler，卻希望Mary能夠好好發揮她的數學天才，去接受專門教育，並且也期待Mary可以名留青史。經過了一連串的波折，Mary最後是回到公立學校過著正常的生活，下午則是在某所大學接受數學教育，下課以後跟朋友一起玩。嗯，真是可喜可賀啊。

       

       電影的其中一幕，就是上圖Evelyn帶著Mary參觀麻省理工學院(Massachusetts Institutes of Technology, MIT)數學系大廳時，她們望著千禧年大獎難題(Millennium Prize Problems)的碑，然後Evelyn跟Mary提到，Mary的媽媽(也就是Frank的妹妹Diane)生前一直致力於解決Navier-Stokes方程式解的存在性與光滑性問題，至今仍然沒有被解決出來。如果能夠解決出來，就能讓Diane在數學界名留青史；此外，因為這個問題跟物理學也很有關聯，能夠解決的話甚至也有機會得到諾貝爾物理學獎。以上這些話Evelyn之所以要跟Mary說，就是希望Mary將來也能夠名留青史，讓她的名字也能被刻在那塊碑上。

        千禧年大獎難題是7道由美國克雷數學研究所(Clay Mathematics Institute, CMI，總部位於麻省劍橋，是一個私人營運的研究機構)於2000年5月24日公布的題目，任何能夠解決其中一道難題的人，都能獲得100萬美元的獎金。雖然沒有限制解題時間，但是證明過程必須要發表在國際知名期刊上，並且要經過2年的認證與審核，通過認證者就可以獲得100萬美元的大獎。千禧年大獎難題分別是

• 龐加萊猜想 (Poincaré Conjecture)---拓撲學範疇
• P/NP問題 (P v. s. NP Problem)---計算機科學範疇
• 霍奇猜想 (Hodge Conjecture)---代數幾何範疇
• 黎曼猜想 (Riemann Hypothesis)---解析數論範疇
• 楊-米爾斯存在性與質量間隙 (Yang-Mills Existence and Mass Gap)---理論物理範疇
• 貝赫與維訥通-戴爾猜想 (Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)---數論範疇
• 納維-斯拓克斯存在性與光滑性 (Navier-Stokes Existence and Smoothness)---分析範疇

      目前僅有最上面的龐加萊猜想被一個俄羅斯數學家佩雷爾曼(俄語: Григорий Яковлевич Перельман, Grigori Yakovlevich Perelman)證明出來，其餘都還得要等待各路好手鑽研。有許多問題的歷史最早都能追溯至19世紀末，個人覺得這些難題全部都找到解答還得等上好一段時間。因為電影提到的是最後一個問題，本文就簡單替大家介紹納維-斯拓克斯方程式。

納維-斯拓克斯方程式(Navier-Stokes Equation)

        電影提到的Navier-Stokes Equation，是一個與氣體動力學相關的偏微分方程式，以牛頓第二運動定律(Newton's second law of motion，受力為質量與加速度的乘積)為基礎，考量了一個有黏滯性的流體的所有所受的力量。最早是1821年的法國工程師納維(法語: Claude-Louis Navier)發現的，之後由愛爾蘭數學家斯拓克爵士(Sir George Gabriel Stokes, 1st Baronet)對其做了許多次改善。數學公式為

其中 ρ代表流體的密度(設定為常數)，u代表三維空間中流體的移動速度，p為壓力，μ為流體黏滯性，g為重力加速度，倒三角形為梯度(Gradient，各方向一階導數的總和)，正三角形為拉普拉絲算子(Laplace Operator，各方向二階導數的總和)。第一個方程式描述了每個小單位的流體服從的牛頓第二運動定律，在此將力量改用密度(每單位體積的質量)表示；第二個方程式則是不可壓縮性條件(Incompressibility Condition)，就物理條件而言，不可壓縮性指的是隨時間變化，密度是常數，數學術語來講，不可壓縮性則是指流體速度場的散度(Divergence)為0。必須要有不可壓縮性的條件假設，Navier-Stokes Equation的所有未知數才都可以被解出來。

納維-斯拓克斯方程式求解

        克雷數學研究所提出的問題，是要在整個三維空間(R^3)中，找到Navier-Stokes Equation一個光滑，而且是有全局意義的解，或者是透過反證法確定沒有這種解。以數學角度來講，Navier-Stokes Equation的速度與壓力必須要符合以下兩個條件

克雷數學研究所要求找到的解必須要符合這兩個條件。對於Navier-Stokes Equation本身，二維空間的方程式已經在1960年代找到符合以上這兩個條件的封閉解；對於全局而言，1934年則是讓某位數學家找到了Navier-Stokes Equation的弱解(Weak Solution，又稱為「廣義解」，在微分方程中指的是該種解無法被微分，只能以積分型態存在)，然而嚴格意義上的解還沒有被找到。

參考資料與圖片來源：

[1] Levy, R. and Shearer, M.(2015), Partial Differential Equations, An Introduction to Theory and Applications, Princeton University Press

[2] 千禧年大獎難題_維基百科

[3] 政大應數所偏微分方程上課筆記
[4] 網路圖片