Mean Reversion

       均數復歸(Mean Reversion)雖然是金融學上的一個重要概念，但是其實整個大自然中也隱含了均數復歸的結構。均數復歸的數學模型最早是在1930年提出的Ornstein-Uhlenbeck Model(O-U Model)，它是一種隨機微分方程(Stochastic Differential Equation, SDE):

          以上的公式中，x_t是我們想去量測的參數(例如:股價、利率等等)， θ是x_t回歸到長期平均水平的速度，μ是長期平均水平，σ則是標準差。布朗運動(Brownian Motion, Wiener Process)是一種沒有摩擦力的隨機過程，在某段時間內服從平均數為0，變異數為該段時間長度之常態分佈，O-U過程則是考慮到粒子也會受到某些力量影響，而往它的長期趨勢線移動，因而隨機微分方程之飄移項(Drift Term)之係數(也就是dt前面那一串)不會是0。

福克-普朗克方程(Fokker-Planck Equation)

         以上提及的均數復歸(以下沒特別說明都直接簡寫為O-U過程)，是因為考慮到粒子可能受到摩擦力以後，方向可能會受到改變而將其用參數化表示。若我們想了解某個粒子在某個位能場受到隨機力量衝擊，隨著時間演進之位置或是速度的機率密度函數(Probability Density Function, PDF)，用白話文就是說想要了解某粒子受到一個隨機的力量衝擊後，某段時間之內可能的位置或是速度，就能夠用福克-普朗克方程式(Fokker-Planck Equation)來描述。此方程式的命名來源是荷蘭物理學家福克(荷蘭語: Adriann Fokker)與德國物理學家普朗克(德語: Max Karl Ernst Ludwig Planck)，同方程式又被稱作向前方程式(Kolmogorov Forward Equation)，因為前蘇聯科學家科莫哥洛夫(俄語:Андре́й Никола́евич Колмого́ров，羅馬化: Andrey Nikolaevich Kolmogorov)也在1931年單獨發現了這個方程式的機率意義。

         假設某個粒子符合以下的隨機微分方程:

         則該粒子之位置在某段時間內的機率密度函數f(X,t)就符合以下的福克-普朗克方程(向前方程式)

        所以若某粒子符合開頭提及的那個O-U模型，它的位置之向前方程式就是

      此為一個有解析解(Analytic Solution)的偏微分方程，解出來以後我們會發現該粒子受到隨機衝擊力以後，仍然會在某一段時間內符合常態分佈。求解偏微分方程時，格林函數(Green's Function)是其中一種解法，考慮了在某一點y之初使條件(Initial Condition)以後，一個質點x的向前方程式的格林函數為

       將時間設為無限大求極限值就能求出向前方程式的解

       由O-U過程的向前方程式我們知道，在某段長度為(σ^2)/2θ的時間內，它是從μ開始的布朗運動。雖然受到了摩擦力，該粒子在某段時間內之機率仍然服從常態分佈。

求解O-U過程

       若我們還想進一步了解服從O-U過程的粒子的位置期望值，則需要求解O-U過程。求解的過程會牽涉到一些變數變換，大致步驟為:

接著從0積分到t就能把O-U過程的解弄出來了

        因為布朗運動的期望值是0，某個函數對布朗運動積分以後取期望值也會是0，因此O-U過程的期望值為

金融上的運用

         在財金領域，有不少指標都會被考慮是O-U過程或是其衍生型，例如：利率、匯率、某些商品價格或者是股價，其中利率模型是最早被視為O-U過程的一種指標。1977年，捷克數學家Vasicek(捷克語:Oldřich Alfons Vašíček )就假設短期利率服從O-U過程，也率先打破了Black-Scholes選擇權訂價模型對於無風險利率必須是常數的假設，就金融工程的研究而言，Vasicek Model算是打開了先河---從此利率也可以考慮到隨機因素了。雖然就現今的角度來看，Vasicek Model有相當多需要改進的部分，包含了長期平均水準也可能會變動，以及利率模型通常與債券以及債券相關產品的訂價脫離不了關係，但Vasicek Model比較無法描繪出債券的殖利率曲線(Yield Curve)，不過Vasicek Model仍然是一個佔有重要學術地位的利率模型。

      商品價格波動度有時也會被假設有均數復歸的現象，這同時也代表波動度有叢聚效應(Volatility Clustering)，白話文來講就是大波動跟著大波動，小波動跟著小波動。計量經濟學有一種用來描述波動度叢聚效應的重要模型是GARCH模型(Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity,廣義自回歸條件異方差模型)，在連續時間軸上為

V代表商品報酬的變異數，與Black-Scholes選擇權訂價公式的假設不同，GARCH模型假定商品報酬波動度會受到時間影響，相較於Black-Scholes選擇權訂價公式，這種隨機波動度模型更容易描繪金融商品可能會出現的笑狀波幅(Volatility Smile)。而在計量經濟學上，更常使用的是離散的時間軸，以上的模型在離散時間軸上為

以上是考慮了波動度同時會受到前一期的波動度以及前一期的殘差項所影響，所以這是GARCH(1,1)模型，而GARCH模型的預測精準度會受到各項係數的影響。 α+β愈大則精準度會愈高(預測精準度之半衰期會愈長)，當 α+β趨近於1時預測精準度會變得很大，而若是GARCH(1,1)模型要用來估計資產每日報酬的波動度時，預測能力通常會變得較好。

      關於剛剛提及的Black-Scholes選擇權訂價公式可以參考以下連結:

•  Black-Scholes Option Pricing Model by 遠得要命的數學王國

無視回歸均值謬誤(Disregard of Regression toward the Mean)

       統計學上的均數回歸與先前提到的均數回歸意義上有些許的差異，而無視均值回歸的可能性有可能會導致思考上的謬誤。根據統計結果，大自然其實是會朝向長期平均水準趨勢移動的。根據英國科學家葛爾頓(Francis Galton)於1886年發表的研究，身高非常高的父母親通常不會將這種身高特性遺傳給小孩，反而小孩身高會逐漸趨向平庸值。他研究了好幾百對父母親與小孩的身高以後，他發覺到，父母身高若是比那些父母身高平均數高出2英吋(即大約5.9公分)，則小孩的身高會比他父母身高還要矮大約2英寸*(2/3)，也就是大約會矮4公分。換句話說，身高其實並不一定會代代相傳。Galton也發現到，種子的重量不會有遺傳的現象，而是漸漸朝向長期平均水準線移動。他在這篇研究中首次用到了相關係數(Correlation Coefficient)的概念，今日無論是高中數學課，或是大學統計課程教到的相關係數，就是源自於Galton。而他也是著名遺傳學家達爾文(Charles Robert Darwin)的表弟。

世界上第一個提出回歸均值概念，以及首度提出相關係數概念的英國科學家Francis Galton

      2002年的諾貝爾經濟學獎得主Daniel Kahneman認為無視自然界中有的均數回歸現象是一種思考上的謬誤。他認為某個人假設某次比賽表現特別不好，其實到後來他的表現是會漸漸回歸到平均值的，所以不用過於擔心有什麼複雜的原因。假設某個地區的氣候現今異常嚴寒，則某段時間以後該地氣候會漸漸回暖，反之亦然；假設某間避險基金這幾年的報酬率異常的高，則某段時間以後報酬率就會下降，而不是一直維持在高點；假設某個NBA球員在某幾場表現非常突出，則過了一陣子以後他其實表現會漸漸下降，而不會一直都維持溫熱的手感。大自然界中的循環現象其實再正常不過，有些時候人們不一定要把事情的原因看得過於複雜，認為什麼東西一定是人為因素。

      附帶一提，均數回歸其實並非來自於人們刻意去努力而達成，而是一種隨機現象。在Kahneman於2011年出版的《快思慢想》(Thinking Fast and Slow)中，他提到某個小孩先前考試考得非常高，於是老師稱讚他，然後該小孩被注意到下次考試考得比較差；另一個小孩先前考試考得非常差，所以老師就處罰他，結果該小孩下次考試就考得比較好了。

       如果老師不再稱讚小孩，而是只用處罰的方式呢?

       Kahneman就認為老師一味處罰小孩是個非常不明智的決定，因為均數回歸根本就不是所謂的因果關係(Cause and Effect)，而是一種在平均數附近的機率分布導致的隨機偏誤。簡單來講，某個小孩在某次考試考得不太好，不應該期望用外力去要求他隔天的考試(嗯，假設他隔天或者是幾天以後還有考試)就要考好。

       《老子 •第三十七章》:「道常無為而無不為，侯王若能守之，萬物將自化。化而欲作，吾將鎮之以無名之朴，鎮之以無名之朴，夫亦將不欲，不欲以靜，天下將自正。」

參考資料:

[1] Hull, J (2009) . Options, Futures and Other Derivatives, 7th ed.

[2] Kwok, Y. K (2008). Mathematical Models for Financial Derivatives, 2nd ed. 

[3] Sherve, S. E (2004). Stochastic Calculus for Finance--Continuous-Time Models
[4] Galton, F (1886). Regression toward Mediocrity in Hereditary Stature. Antropological Miscellanea, 15, 246-263.
[5] London School of Economics FM437: Financial Econometrics Handout

[6] Ornstein_Uhlenbeck process_Wikipedia
[7] Francis Galton_Wikipedia
[8] Regression toward the mean_Wikipedia

[9] 陳松男，2011，利率金融工程學，新陸書局，初版

[10] 李南錫，2017，為什麼我們總是相信自己是對的，高毓婷 譯，本事出版，初版

[11] 政大金融所_利率金融工程上課筆記

[12] 政大應數所_偏微分方程上課筆記
[13] Black-Scholes Option Pricing Model (遠得要命的數學王國)