Outer Measure

        敝人在上一篇文章《Introduction to Measure》中簡單介紹了測度的性質，這一篇要簡單介紹如何透過外測度(Outer Measure)來建構測度。「測度」原則上就是將一個集合賦予某個數；「外側度」則是將某個集合的冪集合(Power Set)賦予某個數。我只要可以說明外側度等於測度，就能完成用外側度來建構測度的過程。

外側度(Outer Measure)與其性質

           要定義外側度以前，首先回顧一下在高等微積分學過的Lindelöf's Covering Theorem:任意實數空間上的子集合可以被可數多個(Countabally many)開區間(Open interval)覆蓋，則依此我們可以定義集合A的外側度m*(A)為:

        已知外側度的定義以後，我們就可以分析外側度的各種性質:

透過外側度建構測度的方法

        以上說明外側度的性質，接著要說明建構測度的方式:

• 首先，m*為冪集合映射到正實數域的一個函數，它是在實數域上的外側度
• 外側度會在實數域上產生σ-Algebra M=M1
• 則m*=m1=m: m就是在實數域上的測度
• 測度=外側度
• 測度建構完畢

       介紹過外側度以後，除了能簡單了解測度如何被建構 ，也可以依此定義可測集合(Measurable  set)與可測函數(Measurable functions)，而可測的概念將在實分析課程當中不斷地被提起。

參考資料:

[1] 政大應數所必修課實變函數論上課筆記

[2] Royden, H. L. (1988). Real Analysis, 3rd ed. 

              

Introduction to Measure

         本文要跟大家介紹的，是數學所的實分析課程(中國是大學就會教到了，而在歐美國家，部分學校的Real Analysis是指高等微積分)剛開始會帶到的一個主題，而這個主題幾乎是貫通了實分析的研究主題—測度(Measure)。也因為測度是實分析最重要的主軸，許多在實分析會碰到的定理都跟測度脫離不了關聯，所以在歐美國家，有部分學校的實分析被稱作「測度論」(Measure Theory)。以下切入正題:

σ-Algebra

       要了解測度，首先應該要了解何謂σ-Algebra。要了解何謂σ-Algebra，則首先得要了解冪集合(Power Set)。假設有一個集合S，S的冪集合P(S)就是S的所有子集合(Subset)形成的集合，ZFC集合論(公理化集合論)得以確保任何集合的冪集合均存在。了解冪集合的概念後我們就可以開始定義σ-Algebra了(以下節錄自我的實分析上課筆記):

測度

       了解σ-Algebra的概念以後就可以開始定義測度了(以下節錄自我的實分析上課筆記):

      數學上有相當多測度的例子。高中課本或者是大學離散數學教過的集合元素個數(Cardinality)，其實就是一種計數測度(Counting Measure);在實分析當中會被不斷提及的勒貝格測度(Lebesgue Measure)，則是在歐幾里得空間中，賦予子集長度、體積與面積等等的標準方法，而如果某個集合得以被賦予體積(測度)的概念則被稱作「勒貝格可測」(Lebesgue Measurable);另外在金融工程、財務數學以及經濟數學上則會很常看到機率測度(Probability Measure)，為總測度為1的測度空間。

       實分析有相當多定理都與測度性質有關，為了方便在下往後提及與實分析相關的概念時各位看倌得以更加快速上手，我要簡單介紹測度的性質(以下節錄自我的實分析上課筆記):

         透過以上的測度性質，再回頭想想以前高中時或者在大學數理統計課學過的機率，應該可以很快發現，機率也是一種測度，所以將測度概念套用於機率上就會了解何以機率的性質是那樣。

參考資料:

[1] 政大應數所必修課實變函數論上課筆記

[2] Royden, H. L. (1988), Real Analysis, 3rd ed.

       

Prospect Theory

           在本網誌先前的文章《Linda Problem》的最後有提及，普林斯頓大學教授Daniel Kahneman因為在1979年提出的展望理論(Prospect Theory)而獲得了2002年的諾貝爾經濟學獎。我認為從Kahneman對於展望理論證明過程的描述中也可以看出，就連行為經濟學(Behaviroal Economics)這種看似在分析人類行為的學科，也是可以把它用數學模型來表示的。我們先來聊聊展望理論得到的四大結論吧：

• 收益與損失方面

1. 處於收益狀態時，多數人為風險厭惡者(Risk Aversion)
2. 處於損失狀態時，多數人為風險愛好者(Risk Loving)

• 損失規避(Loss Aversion):多數人對於損失比對於收益更敏感
• 參照點(Reference Point):多數人對於得失的判斷會依賴參照點

         開始證明展望理論以前，首先要了解何謂「參照點」。這是指人們進行有關各種決策可能造成的後果(包含得利或損失)所參考的決策標準。而要衡量人們是否有從某種結果得到滿足感，經濟學上的衡量標準就稱作「效用」(Utility)，根據展望理論，假設某種遊戲會有N種可能的結果，分別被訂做X(i)，每一種可能結果的發生機率被分別訂為d(i)，在參考點r下(也就是在某種策略之標準下)，玩家對於產生X(i)會產生的效用是u[X(i)|r]，則衡量決策偏好(得失)的函數在此可以表示為

       Kahneman教授與共同進行研究的Tversky共同發現到，決策偏好函數畫成圖形後會是這樣的:

        他們發現人們對於比較不可能發生的事情(例如:空難)會有過多的反應(Over react)，但是對於中度或者高度可能會發生的事情(例如:溺死於你家附近的游泳池)卻反應遲鈍(Under react)。所以畫出來的決策偏好圖形會是呈現s型的，提出來的這項結果也改善了個體經濟學與賽局理論當中的「期望效用假說」(Expected Utility Hypothesis)所認為的最大效用原則之不合理:在遇到風險以及不確定的情況下，人們不應該是要追求最大預期效用值，而是要讓他們所獲得的金額更高。

        在下認為，展望理論以及個體經濟學當中提到的價格僵固性，多少可以解釋為何現在媒體經常喜歡播報一些很聳動，白癡或者是一些負面的新聞，因為人性就是會對負面的東西投以更多反應。而在市場機制下，媒體也希望可以多獲取一些收視率，因而就希望透過多播放負面新聞來博取人們的眼球。對於理解真正的世界究竟如何，光靠收看新聞與閱讀報紙似乎無法達成這個目的，學會用自己經驗觀察，並且獲得第一手資料算是一件好事。真的無法獲取第一手資料時，要了解一件事情的真相，也應該要學會判斷各家媒體的立場與播放的方式，不應盡信同一家媒體的資訊(尤其如果都是從一些主流媒體上獲取的資訊的話)。

Peano Axioms

        雖然自然數的發展歷史已經超過兩千年，但是建立起公理化系統則是近百年前的事情了。義大利的數學家皮亞諾(義大利文:Giuseppe Peano, 1858~1932)於1889年在其著作《算術原理》提出了對於自然數的五大公理，透過皮亞諾公理可以建立起算術系統。五條公理分別如下：

• 1為自然數
• 每個確定的自然數都有其後繼的自然數
• 對於每個自然數a, b, a=b若且唯若(a的後繼數)=(b的後繼數)
• 1並非任何自然數的後繼數
• 任意關於自然數的命題，證明了對於自然數1為真，也假設了對於自然數n為真，若能證明對於n之後繼數也為真，則命題對於所有自然數皆為真

         其中，如果將0也視為自然數，則1要更換為0，而第五公理成了數學歸納法(Mathematical Induction)的基礎，它確保了數學歸納法證明出來的定理是正確的。依此，雖然數學歸納法當中有「歸納」二字，它實質上是在一個有明確前提下能推導出正確結果的演繹法。所有的數學證明皆為演繹法。

義大利數學家Giuseppe Peano

Lateral Thinking

        有參加過暑期夏令營或者是某些大學科系舉辦的營隊的各位大大應該記得，玩夜教之前有時候超帥或者是超正的隊輔(這只是個形容詞，因為隊輔的外型原則上不會影響到遊戲進行)，會先玩一些被俗稱作「海龜湯」的遊戲來營造一些詭異的氣氛，就是會有一些看似違反常理的情境，要玩家透過各種問問題的方式，一步一步把真相釐清的過程。舉例而言:

• 有一名男子在一間能看見海的餐廳點了一碗海龜湯，吃了幾口後驚訝地問了店員:「請問這真的是海龜湯嗎?」店員回答是，結果男子立刻就跳海自殺了，請問究竟怎麼回事?
• 有一位老婆婆在借書以前都會翻到第50頁，為什麼?
• 有一天，約翰到監獄裡面探望喬治，為什麼約翰回家以後卻自殺了呢?

      對於以上這些問題，提問的關主只能對於猜題者提出的問題，給出「是」「不是」「有」「沒有」這些答覆。經過一連串的對答，答案可能會呼之欲出。以第一題而言，答案就是以前那位男子遭遇過船難，漂流途中因為沒有食物導致男子處於瀕死狀態，幸好男子的同伴拿了一碗湯，並且跟男子說明這是海龜湯，給男子喝下去以後才讓他逃過一劫。後來到了有賣海龜湯的店，驚覺口感跟以前吃過的完全不同，才意識到之前吃下去的根本是人肉，因而受不了打擊而跳海自盡。

        這種遊戲屬於「情境猜謎」(Situation Puzzle)的一種，又名「水平思考遊戲」(Lateral Thinking Puzzle)，而之所以又被稱作「海龜湯」，要歸因於日本某個論壇"2ch"上的問題集結書《推理クイズ道場 ウミガメのスープ》，海龜湯(也就是剛剛舉的那些問題當中的第一題)即為這些問題當中最廣為流傳的。

水平思考(Lateral Thinking)

       遇上如同海龜湯一樣看起來異於常理的情境時，有時候能找到真相的關鍵往往相當天馬行空(同時在知道真相以後還會驚呼，原來世界上還真有這種情況喔)，光靠一定的步驟或者路線去推理不一定找到答案(這種方式稱作「線性思維(Linear Thinking)」)。真正的世界有時候也確實不一定照著你我所想的邏輯運行，還存在著比邏輯本身更厲害的邏輯。

      有一個人也覺得不是所有問題都能依靠一步一步推敲就能找出答案的，他就是英國的心理學家戴伯諾(Edward de Bono)。他將所有人的思維都分成以下兩類:

• 垂直思考法(Vertical Thinking)=邏輯思考與分析
• 水平思考法(Lateral Thinking)=衝破常規+提出創造性見解

      以上這兩種思維都各有利弊。垂直思考通常比較能針對單一議題或者在較小的範圍下，依循固定思考模式進行深入探討與表達，但是因為要依循固有經驗，通常也比較不容易產生具有開創性的想法與創意。

       水平思維則是主張思考上要擺脫舊有經驗與知識的約束，從多個角度去觀察某件事，進而產生具有開創性的觀點與方案。但通常比較不能深入探討某個議題。

被譽為「世界創新思維之父」的Edward de Bono

       相對於有嚴謹邏輯以及經驗考證的演繹法與歸納法，不容許出現錯誤以及重視合理性固然是非常重要的邏輯方式，但是水平思維更重視的並非事物的確定性，觀點是否完善，而是一件事情有沒有更多可能性，或者能不能提出更豐富的新觀點。而且，一些開創性點子往往都是從腦海中一下子閃過去的，所以也要懂得適時抓住構思。阿基米德不也是在洗澡途中突然想到可以透過浮力證明皇冠真假的方法嗎?

       得以防止天花的牛痘疫苗之問世，其實也要歸功於這種創造性思維。在18世紀末期與19世紀初期的歐洲是天花非常盛行的時代，原本在英國預防天花的方式是，將天花患者的膿包移植到受種者的皮膚之下，讓受種者產生免疫力，這種方式被稱作「人痘接種法」。算是一種非常直接的做法。

        但是，因為受種者是接受到了活體天花病毒，所以他們會有得到症狀的風險，有一個大哥卻在這時候，聽到了許多曾經得過牛痘的女工，竟然都不再染上天花了的傳說，他心想:「我為何不做一下實驗來確認看看這傳說是否屬實呢?」於是乎他先在某個8歲小男孩的兩隻胳膊上畫了幾道傷口，然後把牛痘漿移植到他的傷口裡面。8歲小男孩在染上牛痘以後的6星期左右康復，接著那位大哥又在小男孩身上移植天花病毒，小男孩就沒有感染到天花。

        那位大哥心想，「太棒了，傳說是真的，這下我找到了預防天花的方法了~~~」於是之後他就大量推廣牛痘疫苗，也為後續的研究打下了基礎。經過了長達200年的努力，世界衛生組織(WHO)終於在1979年宣告天花病毒在地球上消失了。

        那位大哥就是人稱「疫苗之父」的英國醫生詹納(Edward Jenner)。附帶一提，疫苗接種的英文(Vaccination)也是出自詹納，詞源"Vacca"在拉丁文當中是「牛」的意思。

透過開創性思維發明了牛痘疫苗的Edward Jenner

光靠邏輯思維能解決世界上所有難題嗎?

          20世紀以降，愈來愈多的科學證明以及哲學體系提出的新想法，都開始認為世界上的科學體系以及邏輯結構其實並不完備，光靠科學以及邏輯方法似乎並沒有辦法解決世界上的所難題。奧地利的數學家哥德爾(德語:Kurt Friedrich Gödel)就在1931年證明並且發表了兩個定理，不僅破壞了由德國數學家希爾伯特(德語:David Hilbert)嘗試證明公理系統相容性的計畫(其中一個就嘗試證明公理系統是完備而且確定的)，而且也改變了在那之後數學哲學體系的發展走向。從此，數學家了解到也有命題是無法被證明的，就算有證明也無法辨認真假(不確定命題)，而邏輯系統無法處理世界上所有問題。

提出了不完備定理的奧地利數學家Kurt Friedrich Gödel

       英國的數學家圖靈(Alan Turing)就利用一些方式證明了邏輯學以及計算機科學領域當中的「停機問題(Halting Problem)」因為包含了類似於理髮師悖論的問題而不存在解決方案;資訊理論當中的「Chaitin隨機數Ω的第n個字節是否為0」的敘述，在公理化集合論(其中一個最廣泛運用的就是ZFC系統Zermelo-Fraenkel Set Theory，若要包含選擇公理則會縮寫為ZFC)當中也是不確定命題。

        在下寫到這邊的心得是，這個世界上仍然需要邏輯系統，因為人活在世上總是要遵循某些標準才不會出了亂子(例如:紅燈停，綠燈行)，但是千萬不要覺得光憑科學與邏輯思維就能解決世界上所有困難。有些時候跳脫既有束縛是必須的，無論是科學研究或是廣告行銷有時免不了要做一些更開創性的突破，社會才更有機會繼續進步。

參考資料

[1] 哥德爾不完備定理

[2] 海龜湯系列遊戲

[3] 牛痘疫苗

[4] 水平思考--為什麼他想得到我想不到

[5] 水平思考的技術

Linda Problem

        假設有一個名為Linda的31歲單身女性，在大學時主修哲學，很關心歧視與社會運動等問題，最近則是忙著參加反核運動。請問您認為Linda現在更有可能過著怎麼樣的生活?

• 選項1=Linda是一個銀行員
• 選項2=Linda是一個積極參加女權運動的銀行員

        以上這個問題是由2002年的諾貝爾經濟學獎得主，美國普林斯頓大學心理系教授康納曼(Daniel Kahneman)，在1983年的某次實驗當中，詢問實驗參加者的問題。要是從數學上的角度去分析，假設「銀行員」是一個集合，「女權運動的銀行員」也是一個集合，則其實兩者的聯集就是「銀行員」。根據機率測度的概念，集合的大小=測度=機率高低，因此根據邏輯，選項1的可能性應該更高。

       當年的實驗結果是，85%的實驗參與者選擇Linda過著2號生活，因為大部分的認為Linda還維持著大學時代的活力而且同時也成為銀行員。研究團隊認為，這是因為大多數的人覺得根據經驗與常識會讓他們揣測出一種代表性，而且認為資訊愈多則與事實會更相近。研究團隊將這種判斷的邏輯謬誤稱作「代表性捷思」(Representativeness Heuristic)以及「合取謬誤」(Conjunction Fallacy)。

        以上的邏輯謬誤在於，錯誤地認為兩個事件結合起來發生的機率相對於單一事件更高，縱使是要各種條件結合起來才會發生的事件。

普林斯頓大學心理系教授Daniel Kahneman

        提出以上這種問題的Kahneman教授，一生當中總共提出了多達145種人們思考上常常會犯的邏輯謬誤。他在普林斯頓大學與Amos Tversky教授等人合作進行了一系列的研究，主張人類並非以前經濟學(乃至於其他社會科學)所認知的「理性的動物」，而是充滿了「偏誤與捷思」，並且進行了許多實證研究證明他們的主張。

        社會科學很難與自然科學一樣可能透過模擬實驗的方式去驗證某個主張，比較常進行的方式是透過「遊戲」去觀測某種可能的主張是否可以得到驗證。以上Kahneman教授提出的問卷調查算是一種遊戲的例子，更早之前的貝克教授(G. S. Becker)，透過某種賽局(Game)的設計，根據參賽者的行為，證明了其實人性並非如傳統經濟學認為的「理性自利」，而是帶有了利他的本性。

芝加哥大學經濟系教授G. S. Becker

        以上這種透過真人實驗(或者說是玩遊戲)來驗證不同的經濟理論以及新的機制的方式，就被稱作「實驗經濟學」(Experimental Economics)。以上提及的Kahneman以及G. S. Becker都算是實驗經濟學的先驅，儘管Kahneman並非以研究經濟學為主，但是他提出的許多研究成果都對經濟學有眾多貢獻，結合了心理學的元素，後來也衍生出了可以透過研究人類情感與認知的因素來找到各種決策背後原因的「行為經濟學」(Behavioral Economics)。Kahneman教授本人也因為在1979年與Tversky共同提出的「展望理論」(Prospect Theory，行為經濟學範疇，主張每個人會因為初始狀況的不同，對於風險會有不同的態度)而獲得了2002年的諾貝爾經濟學獎。

參考資料

[1] 李南錫(2017)，高毓婷譯，為什麼我們總是相信自己是對的?不知不覺掉入的101種慣性思考陷阱，初版

[2] Levitt, S. D. and Dubner, S.  (2010)，李芳齡譯，超爆蘋果橘子經濟學，初版

1,3,5,7,9,11,13,___

        這個問題是由奧匈帝國的哲學家維根斯坦(德語: Ludwig Josef Johann Wittgenstein)設計出來的。照直覺來回答這問題的話，我們會覺得空格應該要填上15，因為怎麼看這個數列當中都只有奇數，13的下一個奇數應該要是15。

    令人驚訝的是，維根斯坦本人卻說這個答案是錯的，14才是正確答案。為何呢?他說這個數列的背後規則是「晴天寫奇數，雨天寫偶數」。因為剛好連續7天都放晴，所以都是寫奇數，但到了第8天就下雨了，才會改寫偶數。

     你說，這也未免太奸詐了吧?可是如果只有寫出那7個數字，嘗試推理出下一個數字是什麼，卻沒有說這是等差數列，能這麼肯定下一個一定是15嗎?維根斯坦說，不一定可以僅憑連續出現的7個奇數，就斷定這一定就是奇數的數列啊。

    以上的問題被後人稱作「維根斯坦的悖論」

維根斯坦

       維根斯坦之所以提出這樣的問題，是因為他不認為人類可以藉由比較多個現象而從中找出絕對的規則。當時的哲學界是結構主義(Structuralism)慢慢解體的時代。結構主義者本來認為，人類的行為以及他們所謂的「自由意志」，都是受制於世界上的某個「結構」，而結構主義者的方法論，則是想要找出某個不可動搖的標準，解釋出一個放諸四海皆準的真假值。簡單而言，就是希望可以找到某個規則，在台灣是正確的，在美國是正確的，在德國也一樣是正確的。

               但是維根斯坦提出了以上的警語之後，所有已經找到的結構都必須要在角落加上了小小的註解，「以上純屬個人意見」。這下可妙了，因為結構主義本來是想要找到一個影響全世界運行標準的結構，維根斯坦的言論一出，幾乎等同宣告哲學上的結構主義要瓦解了。而現今的哲學界(後結構主義, Post-structuralism)也沒有任何一種主張，能夠凌駕整個學術界，並且引領世界走到同一個方向。換句話說，以前的哲學都嘗試要找出一個真理，它是全世界的唯一標準，但現在大家幾乎都承認，這世界上沒有唯一可以奉行的標準。

               那看似有放諸四海皆準的「結構」的數學，就沒有類似的問題了嗎?

        一個在下覺得非常經典的例子就是「羅素悖論」(Russel’s Paradox)。在羅素以前的樸素集合論，由於尚未建立起公理化系統，結果就造成了小村莊裡的理髮師不能理自己頭髮的詭異現象。因為各路數學家以及邏輯學家有嘗試去處理數學上的悖論，才使得數學發展得以愈來愈有邏輯，也漸漸可以建立出結構系統。

英國哲學家羅素

       另外，其實哲學也有其中一個分支在研究數學問題，稱之為「數學哲學」(Philosophy of Mathematics)。作為專門學科是19世紀中葉以後的事情，它們主要會研究數學方法、不同的數學流派(例如以上的羅素屬於「邏輯主義」，認為數學是邏輯的延伸)、數學本體論(Ontology，要確定數學的研究客體是否為客觀真實的存在)。寫到這邊，我原本以為數學就是一個放諸四海皆不變的標準，不會隨著時空而改變，我現在確定了原來就連數學當中也存在有不同的哲學議題。這些事情告訴我們，人類如果保持開放的心胸去看世界，將有助於發現更多未知的領域，可以促進世界不斷進步，造就更多不同的研究主題讓人類生活得以更加多樣化。

      然後就是數學研究真的少不了邏輯。也不是只有A標準才是對的，B標準就一定錯。

Philosophy and Mathematics

   

         本文想跟各位聊的，是我最近也有在看的這本書。其實會開始意識到哲學並不只是要讀蘇格拉底或者是康德的著作，源自於我1個月前讀過黃益中老師的《向高牆說不》，該本書提及人類必須要透過教育才能學會運用他們與生俱來的權利，而他也在書中的第一章提到，哲學教育以及邏輯訓練是讓人們學習思辨，培養獨立思考能力非常重要的環節，要讓人們學會獨立思考以後，才能學會判斷自己的人生究竟是不是自己想要的，並且知道為何社會規範會是我們所知道的這樣子，一切真的是合理的嗎?有沒有什麼地方可以更好?

       在歐美國家，法國、義大利、西班牙與葡萄牙四國都將哲學列為中學必修課；德國、瑞士與瑞典是中學選修課；英國與美國中學時則是進行邏輯教育必修。哲學教育並非只是一直讀哲學家的理論而已。所謂的哲學，就是要探討我們一直以來所認為正確的事情，究竟是否真的如此，要釐清我們的生活周遭以及社會究竟為何，並且要嘗試去挖掘新事物。透過懷疑，我們愈來愈能釐清事物本質，也愈來愈能讓腦袋保持清晰狀態。簡單來講，只要一個人開始會問:「為什麼上班時要穿西裝、打領帶呢?」他就已經開始在問哲學性的問題了。嗯，類似的問題其實還很多，如果他能問出更多好問題，或許他也可以成為一個了得的思想家。透過一系列的找尋資料、懷疑、邏輯辯證，我們得以了解社會現況，更有甚者，還可以發現一套或許對於社會更好的規範。相信版上很多人都看過阿湯哥主演的《遺落戰境》(Oblivion)，他飾演的Jack Harper就是因為懷疑他被指派的工作環境以及他生長的世界似乎不單純，最後才會發現到原來地球已經被外星人佔領，以及他原本被告知的壞人「魍魎族」，其實根本才是人類啊。

      

        寫到這邊，我真的相信邏輯訓練與哲學教育是培養人民獨立思考能力一個很重要的環節，可惜台灣教育似乎不是很重視這塊。

       回到剛開始提到的我在看的這本書。本書的中心思想其實就是:「哲學家其實很多創新的想法都來自於看似與頑皮小孩般天馬行空與一些極端的看法，這些想法往往能引領世界開發出一些新的觀念」因此哲學思想絕對不是距離人們日常生活很遙不可及的事物。哲學首先來自於叛逆(也就是不願意總是追隨社會規範，也不總是認為社會規範都是對的，神聖不可侵犯，而是會審慎思考並懷疑規定這樣是否真的好。本書主要是要寫給日本的青少年看的哲學教育課外書，所以書中雖然會循序漸進的介紹尼采、康德、笛卡兒的哲學思想，以及西方國家在15世紀文藝復興以來，哲學思想如何演進(理性主義、存在主義等等的)，不過書中用了不少例子說明，許多哲學思想當中會用到的邏輯辯證，實際上跟生活是脫離不了關聯的，多多運用邏輯能力思考問題，很容易地就能讓人們建立起一套有系統的思考方式，並且發掘出許多有趣的事物。

       而哲學與數學之間又有什麼關聯呢?16世紀的歐洲哲學系統分成兩派:

• 歐陸→理性論→演繹法→根據多個前提推理出合邏輯的答案
• 英國→經驗論→歸納法→根據多個觀測到的現象，找到滿足這些現象的答案

      提出演繹法(Deductive Reasoning)的人就是大名鼎鼎的法國數學家與哲學家笛卡兒(法語:Rene Descartes)。就是那位提出了解析幾何(Analytic Geometric)、指數表示法以及發現了凸多面體的邊、頂點與面之間存在有某種關聯的笛卡兒。在16世紀的歐洲，因為教會的威信大大衰落，西方人開始不太相信宗教的至高無上，而開始思考用理性的思考方式並且靠自己判斷什麼是對的。笛卡兒也是那個時代的其中一位。他認為在思考之前必須要先了解，人類可以知道哪些東西，以及能知道到何種程度，並且能否確定人們知道的事物真的正確無誤，理由何在。進行演譯之前，必須要完全確定前提假設是對的。這類想法在哲學上被歸類到「知識論」(Epistemology)，而笛卡兒也主張，確認前提假設是對的最好的方式，就是不斷懷疑自己聽到的東西，直到自己認為再也無法懷疑下去為止。看到這邊我還真以為笛卡兒是懷疑論者呢。

法國數學家與哲學家Rene Descartes

      演繹法在諸多數學定理的論證上很常遇到。例如，有修過離散數學的粉絲，或者高中數學有教導一些簡單的邏輯訓練者，常常聽到的「若p則q，若非q則非p」就是一種演繹法。許多膾炙人口的偵探小說、漫畫或者節目，例如:《福爾摩斯》、《新世紀福爾摩斯》、《CSI犯罪現場》、《名偵探柯南》等等，也經常看到演繹法的影子。

英國BBC影集《新世紀福爾摩斯》海報

        然而，只要演繹法一開始採用的前提無法保證正確，那麼接下來的推理就會有接二連三出錯的可能。很像是第一顆鈕扣一旦扣錯，接下來就不會有任何一顆扣對了。因為通常許多事上的事物都是不確定的正確性，無法斷言前提必為正確。後來，有一批經驗主義者認為研究事情應該也要把經驗納入考量，就有了另外一種思考系統--歸納法(Inductive Reasoning)。英國哲學家(也是經濟學家、歷史學家)David Hume就是歸納法的先驅者之一。

        在物理學當中，透過歸納法得來的一個非常重要的例子就是克卜勒三大定律(Kepler's Law of Planetary Motion)。德國天文學家與數學家克卜勒(德語:Johannes Kepler)就是非常仔細的閱讀長年下來的行星觀測數據，找到了其中的某些共通點，提出了以下三大定律:

• 第一定律(橢圓定律):每個行星都有各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽處於此橢圓軌道的焦點上
• 第二定律(等面積定律):行星繞太陽運動的角動量守恆
• 第三定律(週期定律):行星繞太陽公轉週期之平方與橢圓軌道半長軸之立方成正比

        克卜勒於1609年在他發表的《新天文學》(拉丁文:Astronomia nova)提出了前兩大定律，在1618年又發現了第三定律。因為有了克卜勒三大定律(運用數學簡化了哥白尼先前提出的《日心說》)，徹底摧毀了已經流行1000年以上的《地心說》，而且也奠定了現今天文學研究的基礎。其中第三定律成了牛頓萬有引力的基礎。

       我記得之前在閱讀台大數學系開設的高等微積分開放式課程的講義時，陳金次老師在講義當中(第2章，在介紹數學體系)提出了一個我覺得很有趣的問題:「我眼前的杯子是連續存在的嗎?」因為高等微積分當中很常在談論連續、極限、無限、連通、分離...等等我乍聽之下好像很玄的事情，我看到金次爺提到的這個問題當下，也瞬間認為世界上的時間或許還真的有可能是離散存在的，只是因為間隔實在太.....小了，人們無法注意到那微小的差距(嗯，高等微積分也很常談論到「微小」)，因此世上的事物還真那麼有可能並非以連續形式存在。

       誰說數學當中不會有哲學問題呢?

我們眼前的杯子真的是以連續形式存在的嗎?

中文參考資料:

[1] 飲茶(2016)，叛逆就是哲學的開始

[2] 台大數學系高等微積分開放式課程講義