Philosophy and Mathematics

   

         本文想跟各位聊的，是我最近也有在看的這本書。其實會開始意識到哲學並不只是要讀蘇格拉底或者是康德的著作，源自於我1個月前讀過黃益中老師的《向高牆說不》，該本書提及人類必須要透過教育才能學會運用他們與生俱來的權利，而他也在書中的第一章提到，哲學教育以及邏輯訓練是讓人們學習思辨，培養獨立思考能力非常重要的環節，要讓人們學會獨立思考以後，才能學會判斷自己的人生究竟是不是自己想要的，並且知道為何社會規範會是我們所知道的這樣子，一切真的是合理的嗎?有沒有什麼地方可以更好?

       在歐美國家，法國、義大利、西班牙與葡萄牙四國都將哲學列為中學必修課；德國、瑞士與瑞典是中學選修課；英國與美國中學時則是進行邏輯教育必修。哲學教育並非只是一直讀哲學家的理論而已。所謂的哲學，就是要探討我們一直以來所認為正確的事情，究竟是否真的如此，要釐清我們的生活周遭以及社會究竟為何，並且要嘗試去挖掘新事物。透過懷疑，我們愈來愈能釐清事物本質，也愈來愈能讓腦袋保持清晰狀態。簡單來講，只要一個人開始會問:「為什麼上班時要穿西裝、打領帶呢?」他就已經開始在問哲學性的問題了。嗯，類似的問題其實還很多，如果他能問出更多好問題，或許他也可以成為一個了得的思想家。透過一系列的找尋資料、懷疑、邏輯辯證，我們得以了解社會現況，更有甚者，還可以發現一套或許對於社會更好的規範。相信版上很多人都看過阿湯哥主演的《遺落戰境》(Oblivion)，他飾演的Jack Harper就是因為懷疑他被指派的工作環境以及他生長的世界似乎不單純，最後才會發現到原來地球已經被外星人佔領，以及他原本被告知的壞人「魍魎族」，其實根本才是人類啊。

      

        寫到這邊，我真的相信邏輯訓練與哲學教育是培養人民獨立思考能力一個很重要的環節，可惜台灣教育似乎不是很重視這塊。

       回到剛開始提到的我在看的這本書。本書的中心思想其實就是:「哲學家其實很多創新的想法都來自於看似與頑皮小孩般天馬行空與一些極端的看法，這些想法往往能引領世界開發出一些新的觀念」因此哲學思想絕對不是距離人們日常生活很遙不可及的事物。哲學首先來自於叛逆(也就是不願意總是追隨社會規範，也不總是認為社會規範都是對的，神聖不可侵犯，而是會審慎思考並懷疑規定這樣是否真的好。本書主要是要寫給日本的青少年看的哲學教育課外書，所以書中雖然會循序漸進的介紹尼采、康德、笛卡兒的哲學思想，以及西方國家在15世紀文藝復興以來，哲學思想如何演進(理性主義、存在主義等等的)，不過書中用了不少例子說明，許多哲學思想當中會用到的邏輯辯證，實際上跟生活是脫離不了關聯的，多多運用邏輯能力思考問題，很容易地就能讓人們建立起一套有系統的思考方式，並且發掘出許多有趣的事物。

       而哲學與數學之間又有什麼關聯呢?16世紀的歐洲哲學系統分成兩派:

• 歐陸→理性論→演繹法→根據多個前提推理出合邏輯的答案
• 英國→經驗論→歸納法→根據多個觀測到的現象，找到滿足這些現象的答案

      提出演繹法(Deductive Reasoning)的人就是大名鼎鼎的法國數學家與哲學家笛卡兒(法語:Rene Descartes)。就是那位提出了解析幾何(Analytic Geometric)、指數表示法以及發現了凸多面體的邊、頂點與面之間存在有某種關聯的笛卡兒。在16世紀的歐洲，因為教會的威信大大衰落，西方人開始不太相信宗教的至高無上，而開始思考用理性的思考方式並且靠自己判斷什麼是對的。笛卡兒也是那個時代的其中一位。他認為在思考之前必須要先了解，人類可以知道哪些東西，以及能知道到何種程度，並且能否確定人們知道的事物真的正確無誤，理由何在。進行演譯之前，必須要完全確定前提假設是對的。這類想法在哲學上被歸類到「知識論」(Epistemology)，而笛卡兒也主張，確認前提假設是對的最好的方式，就是不斷懷疑自己聽到的東西，直到自己認為再也無法懷疑下去為止。看到這邊我還真以為笛卡兒是懷疑論者呢。

法國數學家與哲學家Rene Descartes

      演繹法在諸多數學定理的論證上很常遇到。例如，有修過離散數學的粉絲，或者高中數學有教導一些簡單的邏輯訓練者，常常聽到的「若p則q，若非q則非p」就是一種演繹法。許多膾炙人口的偵探小說、漫畫或者節目，例如:《福爾摩斯》、《新世紀福爾摩斯》、《CSI犯罪現場》、《名偵探柯南》等等，也經常看到演繹法的影子。

英國BBC影集《新世紀福爾摩斯》海報

        然而，只要演繹法一開始採用的前提無法保證正確，那麼接下來的推理就會有接二連三出錯的可能。很像是第一顆鈕扣一旦扣錯，接下來就不會有任何一顆扣對了。因為通常許多事上的事物都是不確定的正確性，無法斷言前提必為正確。後來，有一批經驗主義者認為研究事情應該也要把經驗納入考量，就有了另外一種思考系統--歸納法(Inductive Reasoning)。英國哲學家(也是經濟學家、歷史學家)David Hume就是歸納法的先驅者之一。

        在物理學當中，透過歸納法得來的一個非常重要的例子就是克卜勒三大定律(Kepler's Law of Planetary Motion)。德國天文學家與數學家克卜勒(德語:Johannes Kepler)就是非常仔細的閱讀長年下來的行星觀測數據，找到了其中的某些共通點，提出了以下三大定律:

• 第一定律(橢圓定律):每個行星都有各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽處於此橢圓軌道的焦點上
• 第二定律(等面積定律):行星繞太陽運動的角動量守恆
• 第三定律(週期定律):行星繞太陽公轉週期之平方與橢圓軌道半長軸之立方成正比

        克卜勒於1609年在他發表的《新天文學》(拉丁文:Astronomia nova)提出了前兩大定律，在1618年又發現了第三定律。因為有了克卜勒三大定律(運用數學簡化了哥白尼先前提出的《日心說》)，徹底摧毀了已經流行1000年以上的《地心說》，而且也奠定了現今天文學研究的基礎。其中第三定律成了牛頓萬有引力的基礎。

       我記得之前在閱讀台大數學系開設的高等微積分開放式課程的講義時，陳金次老師在講義當中(第2章，在介紹數學體系)提出了一個我覺得很有趣的問題:「我眼前的杯子是連續存在的嗎?」因為高等微積分當中很常在談論連續、極限、無限、連通、分離...等等我乍聽之下好像很玄的事情，我看到金次爺提到的這個問題當下，也瞬間認為世界上的時間或許還真的有可能是離散存在的，只是因為間隔實在太.....小了，人們無法注意到那微小的差距(嗯，高等微積分也很常談論到「微小」)，因此世上的事物還真那麼有可能並非以連續形式存在。

       誰說數學當中不會有哲學問題呢?

我們眼前的杯子真的是以連續形式存在的嗎?

中文參考資料:

[1] 飲茶(2016)，叛逆就是哲學的開始

[2] 台大數學系高等微積分開放式課程講義