Central Limit Theorem (C.L.T)

       在數理統計學中，最重要的幾件事情不外乎

• 了解隨機變數(Random Variable)的機率分配與動差(Moment)
• 為了了解母體(Population)的特性，但不太可能普查，而透過統計方法抽樣(Sampling)
• 透過機率分配進行假設檢定(Hypothesis Test)，以說明哪些統計實驗結果成立
• 遇到未知的參數時，想辦法透過統計方式找到估計量(Estimator)
• 想辦法建立迴歸模型(Regression Model)來探討影響變數特性的因子

其中，我們最先想知道的就是參數服從的機率分配或者是動差，因為這是統計學最基本的要素。如果我們不知道有限數量的樣本之機率分布，是無法執行假設檢定的，若無法執行假設檢定，則我們不知道做出來的實驗結果究竟能不能被統計學所接受。就算不談假設檢定，而只是想了解我們拿到的資料究竟服從哪種機率分配，若我們不知道母體服從的機率分配，則這些資料的機率分配也很難知道。

        幸好至少還可能知道這個資訊：如果我們從一個未知的母體分配中抓出一堆變數：X_1, X_2, ..., X_n，其中平均數為μ，變異數為σ^2，則這堆樣本的期望值就是μ，變異數為(σ^2)/n。

         可是我們就是很想知道樣本到底服從哪種機率分配啊?這樣要做統計分析還是比較方便，因此需要做一件事情，就是將樣本數量增加，讓它變得足夠大，這樣就能找到樣本服從的「漸近分配」(Asymptotic Distribution)。那麼漸近分配是哪種機率分配呢?這就是「中央極限定理」(Central Limit Theorem)的精神所在了：樣本平均數的漸近分配是平均數為μ，變異數為(σ^2)/n的常態分配。

        中央極限定理在統計學上佔有一席之地，原因是從實務角度來講，它告訴我們：隨機樣本的總和，無論原先型態怎麼樣，只要數量大到某種程度是會服從常態分配的。知道機率分配以後要執行各種分析都會變得方便很多。

        為了說明中央極限定理，以下為丟擲公正硬幣次數增加，正面朝上的次數之機率分配。

從圖中能夠發現，隨著硬幣數量增加，正面朝上次數之機率會愈來愈接近常態分配。圖片解釋了中央極限定理之精神。

依分配收斂(Convergence in Distribution)與中央極限定理

       若要用更嚴謹的方式闡述中央極限定理，首先我們要知道一個樣本收斂的方式：依分配收斂(Convergence in Distribution)。對於一個隨機樣本的數列(Sequence of random variables)，對應到的累積密度函數為F_n(x)，定義「依分配收斂」為

嚴謹版本的中央極限定理(Lindeberg-Levy C.L.T)也是從「依分配收斂」定義的

樣本之漸近分配是常態分配是個相當好的性質。許多經濟學理論都沒有給出參數應該服從什麼機率分配，所以估計參數上會遇到一些技術上的麻煩，幸好前人已經幫我們想好做法，就是由芝加哥大學教授Lars Peter Hansen所推出的廣義動差法(Generalized Method of Moments, GMM)，它的其中一個特性也是常態分配是漸近分配。

• Generalized Method of Moments by 遠得要命的數學王國

其餘心得 (Math Camp的制度)

        最近我正在看倫敦政經學院(LSE)經濟系發給我們的Math Camp的教材，內容主要就是要幫助大家複習以前大學時學過的數學，因為讀研究所(或者是當博士生)時那些數學仍然會用上，但是一段時間沒有接觸後，對於數學的感覺往往會變得遲鈍，因此國外絕大多數的經濟博士或是財金博士，正式報到以前都會有這種Math Camp的制度幫大家複習數學，讓大家重新找回對數學的感覺。

         當我看到這些講義時，也赫然發現到雖然對於大部分的內容都還算熟悉，可是有一部分的內容已經忘掉而需要複習，甚至也有少數內容是在台灣沒有教到的，因而需要透過Math Camp的教材補起來。尤其對於某些數理統計的東西，有些內容是當初沒能融會貫通的，暑假以來看了Math Camp的東西以後就把概念補起來了，其中一部分就是今天所寫的中央極限定理與漸近分配。希望明天以後到英國讀書能夠順利適應他們的環境。

• LSE MSc Finance and Economics 申請心得 by 遠得要命的數學王國

        今年由LSE經濟系開課，PhD Economics, PhD Finance與某些經濟與財金相關的碩士必修的Math Camp一共由4門課組成

• Revision Mathematics (微積分+線性代數+高等微積分的大雜燴)
• Probability and Statistics Inferences (數理統計學)
• Math for Microeconomics (優化理論)
• Math for Macroeconomics (有一部分的微分方程)

其實看過講義以後，我真心覺得Math Camp並不是讓完全沒有數學基礎的人，透過制度讓他們搖身一變成為大內高手的。以Revision Mathematics為例，今年就有發下145頁的筆記(就很像是課本的形式整理起來的)，內容還包括有習題，其中一部分是要我們前往LSE之前要先讀完的，到了LSE以後，Revision Mathematics這門課只會花兩天的時間，用兩堂正課與兩堂討論課幫大家複習這145頁的內容。因此個人並不覺得是給沒有數學基礎的人來上的，而應該是假設大家都會絕大多數的內容以後，讓大家看看自己還缺了哪些概念。

        我也有先去複習Probability and Statistics Inferences的講義(前輩提供的)還有Math for Micro的講義，也是發現到前者講義也多達108頁(含習題)，後者寫得很簡潔，只有33頁。而Probability and Statistics Inferences只有用10天時間用正課與討論課時間去複習內容，Math for Micro只用6天。只可惜Math for Macro似乎是今年才新增的，因此目前沒有發教材讓我們先去複習。但總而言之，要去讀研究所之前，應該是要先好好奠基自己的必備實力，讓研究所學歷變成錦上添花的因素。而並非到研究所才想到哪些最必要的東西需要補起來。

• Math Camp for PhD Economics/PhD Finance by 遠得要命的數學王國

參考資料
[1] London School of Economics EC400: Introductory Course in Mathematics and Statistics Handout

Fundamental Lemma of Differentiation

       許多科系都會把微積分課程列為大一必修：數學系、物理系、心理系、醫學系、電機系、財金系、經濟系與政治系等等。或許實務運用上不會遇到微積分或其他比微積分更深入的數學，例如要從事金融業當中某些業務，必備的技能就並非微積分；然而，若要從事學術研究，包括自然科學與社會科學等等，都會需要看懂嚴謹的數學所寫出來的各種理論，而微積分又是許多更深入的數學之基礎。無論是理學院、工學院、醫學院、商學院或是社會科學院，隸屬於這些學院的幾乎所有科系或多或少都會接觸到微積分。

       大學微積分剛開始不久，首先簡單介紹何謂「極限」，接著說明「導數」與「微分」，最後就是「積分」與「級數」了。有些內容涵蓋較多的學校或科系還會簡單教一些「微分方程」，或者也有某些只教一學期之微積分的科系不會涵蓋到「積分」的內容。微積分原則上來講就是涵蓋這些東西。

        大多數的內容與專有名詞不至於像雙胞胎一樣令許多人傻傻分不清楚，但第一個學期開始不久，就會遇上一個名詞定義上的問題：「可導」與「可微分」是不是兩個一樣的概念?

微分引理 (Fundamental Lemma of Differentiation)

        這個定理就能幫助我們把「導數」與「微分」做個區分，微分引理的定義是

• 假設f為定義於x點附近的實數函數，f於x點「可微分」，若

「微分」就是透過「微分引理」所引進的，接下來談談「導數」與「可導」的問題。f在x點可導的意思就是以下的極限存在(也就是函數的切線存在)

對照一下以上這兩個式子，然後將ε用以下方式代換

我們發現當Δx趨近於0時，ε就會趨近於0，所以就導引到了微分引理。由此可知，單變數函數之「可導」與「可微分」沒有差別。

        雖然這樣說起來，好像我們何必要多弄出另外一個名詞來讓大家了解，但是多變數函數時以上這兩個概念就有差別了。根據單變數的微分引理，一個函數可微分，意思就是說它可以用線性函數很貼切地逼近。那多變數函數的情況呢?北宋著名詩人與詞人蘇東坡寫過《題林西壁》這首詩

             「橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中」

有個物體可能從某個角度來看像是一座小圓丘，但是換個方向看卻又很像尖山。可微分的定義就是在某個點附近是能夠用線性函數去逼近的。因此，多變數函數很可能發生一種在某種角度下可微分，換個角度以後卻又不行的情況。以二維函數為例，雙變數的微分引理為

• f(x,y)為雙變數函數，它在(x,y)點附近可微分若

       雙變數函數在某個方向上可導，意思就是在某方向上的偏導數存在，也就是在某方向上存在有某平面能夠與之相切。但是偏導數的概念與微分能處理的「平滑性」(Smoothness)又會有差別，可能某個函數的偏導數從哪個方向來看都相同，但是卻會在某個點並不連續。可微分的點必定連續，所以不連續的點並沒有所謂平滑性，然而某個函數雖然連續，卻又在某處有尖銳的點，也一樣沒有平滑性。實際上，處處連續卻又處處不平滑(不可微分)的函數在大自然界中真的存在，布朗運動(Brownian Motion)就是一個例子。

二維布朗運動就是一種處處都不平滑的函數

附帶一提，我們能從拓撲學當中的貝氏類集定理(Baire's Category Theorem)的概念說明，以上這種處處連續卻又處處不平滑的函數其實還有很多。

鏈鎖定律 (Chain Rule)

        接觸導數的單元時，還會接觸到以上的這個定律，以單變數函數為例

• 假設g於x點可導，f於g(x)點可導，令h(x)=f(g(x))，則h於x點可導而且h'(x)=f'(g(x))*g'(x)

        最符合邏輯的證明方式其實也要透過微分引理

參考資料與圖片來源:

[1] 台大數學系開放式課程_高等微積分講義

[2] 網路圖片_布朗運動

Fundamental Theorem of Asset Pricing (F.T.A.P)

     
        在財務經濟學中，無套利機會(Arbitrage-Free)與資產訂價(Asset Pricing)猶如連體嬰一樣密不可分，而資產訂價基本定理(Fundamental Theorem of Asset Pricing, F.T.A.P)就是把這兩個概念串在一起最重要的定理。簡單來講，資產訂價的假設之一就是沒有套利機會的存在。資產訂價基本定理的敘述是

• 無套利機會存在，若且唯若狀態價格之向量(Vector of State Prices)存在

要了解財務經濟學這個最重要的定理之一，首先要了解以下這些定義

狀態價格(State Price)

         資本市場的主要目的是要提供人們一個借貸或買賣的大平台，以及讓人們有一個處理風險的機制。牽涉到商品的交易，了解資產價格的特性會變得很重要。我們先假設有一個經濟體只有兩種日期：t=0與t=1，以及在t=1時有S種可能發生的事件，稱為「狀態」(State)。要精確定義的話，「資產」(Asset)就是指在t=1時，在S種狀態下可以獲得或者要付出某種東西的義務之集合。

        接著我們來探討「資產價格」(Asset Price)。假設有N項資產組合成一個「投資組合」(Portfolio)，而某個擁有這N項資產的人，在狀態s時能夠獲得以下這麼多單位的商品：

         用矩陣表示的話就是

        其中d_sn就是在狀態s下有這麼多單位的商品，同時也是資產的利息(Dividend)；x_n代表資產的數量。資產本身也會在t=0時有成本，也就是說在t=0時要付出某些代價去換取這些資產，簡單來講就是「資產價格」了，用以下的資產價格向量q表示資產n的價格

        所以這N項資產的成本就是

        若我們再把t=0與t=1時，這N項資產擁有者的「利息流向」(Dividend Stream)組合成一個向量的話，則與這N項資產相關的「利息流向」為

        要了解「資產價格」，最後需要探討的元素就是「狀態價格」(State Price)了。「狀態價格」ψ直觀上來講就是指在狀態s下，每單位消費的價格，若資產價格與每個狀態下的消費價格是一致的，資產價格就是這些利息價格的總和。以數學公式表示為

 

套利(Arbitrage)

        在經濟學上，「套利」是指一種能夠在不用承擔任何風險的情況下，獲得正向報酬的投資行為。目前我們已經探討過「利息流向」，就是將投資人在t=0與t=1的利息狀況表示成向量(負號代表流出，正號代表流入)。從數學公式來看，某個投資組合X是「套利」就是指「利息流向」大於0

        「套利」能夠讓一個投資人用「不大於0」的成本，獲得「不小於0」的報酬。在至少一種狀態下該投資人的成本可能是負的(或者報酬可能是正的)。因此「套利」用白話文來講就是一種「白吃的午餐」。

        無套利機會是讓市場達成均衡狀態(Equilibrium)的必要條件。市場上假設存在有套利機會---可能人們能夠用低於合理價格的價格去買到某種東西，再用一種高於合理狀況的價格賣出，則人們透過這種不用付出成本就能獲得報酬的交易下，一次一次地市場就漸漸地不再有套利機會，市場會達到平衡。

資產訂價基本定理的證明

        證明將會分成兩個部分：

• 狀態價格的向量存在，則無套利機會 (1)
• 無套利機會，則狀態價格的向量存在 (2)

證明(1)比較簡單，只要用矛盾證法(Proof by Contradiction)以及簡單的矩陣運算就行了。

但是(2)的證明就比較複雜一些，因為會牽涉到Farkas' Lemma：

附帶一提，Farkas' Lemma在非線性優化扮演了很重要的角色。透過Farkas' Lemma我們能夠證明(2)

參考資料與圖片來源
[1] Cochrane, J. Asset Pricing, Revised ed.
[2] London School of Economics FM436: Financial Economics Handout
[3] Farkas' Lemma_Wikimization
[4] 政大應數所優化理論上課筆記
[5] 網路圖片_紐約證券交易所

Maxwell's Equations

       電磁學領域中有一個非常有名的偏微分方程組，描述了電場、磁場與電荷密度及電流密度之間的關聯，就是由「電磁學之父」---英國物理學家馬克士威(James Maxwell)於1864年發表的馬克士威方程組(Maxwell's Equations)，經後人改良後於1884年成為了今日我們所看到的四個一階線性偏微分方程式所組成的版本。馬克士威方程組描述了以下四個重要的電磁學定律：

• 高斯定律(Gauss' Law)---電場如何由電荷生成
• 高斯磁定律(Gauss' Law for Magnetism)---磁單極並不存在(任何磁鐵必有南北極)
• 法拉第感應定律(Faraday's Law of Electromagnetic Induction)
• 馬克士威-安培定律(Maxwell-Ampère's Circuital Law)---證明光波也是電磁波

       因為有馬克士威方程組，現代的電力科技得以非常迅速地發展。儘管非常精確地描述需要借用到量子力學理論，而馬克士威方程組也僅是一種近似而已，然而日常生活中所見到的現象，用馬克士威方程組近似得到的差距是甚為微小。從數學性質來看，雖然以偏微分方程而言，「一階線性」是一種非常良好的性質，然而馬克士威方程組通常只能求出近似解(除了少部分有對稱性的)。

       馬克士威方程組還分成「微觀」(在真空中)與「宏觀」(在物質中)兩種型態，前者可以推導後者，也得以推測出原子性質與宏觀性質之間的關聯。

電磁學之父---英國物理學家馬克士威

高斯定律

       此定律是由德國知名數學家與物理學家高斯(德語: Johann Karl Friedrich Gauss)於1835年提出的(然而要過了近30年以後才被發表出來)，描述了穿越某個閉合曲面的淨電通量(單位時間內有多少電荷通過)等同於淨電荷除以電容率。數學角度上來看，則代表電場的散度是總電荷的密度除以一個常數。公式表示為

       高斯定律告訴我們，只要能找到電荷的分布，我們就能夠找出在某個位置的電場(即電荷與電荷之間交互作用的物理場)。從數學角度來看，根據高斯散度定理(Divergence Theorem)，微分型式等價於積分型式。其餘的馬克士威方程式也一樣。

高斯磁定律

           此定律則闡述了磁單極在宇宙中是不存在的。從微觀的角度來看，這代表「磁單極子」(Magnetic Monople, 也就是只帶有北極或是南極單一磁極的物質)不存在，數學角度上來看，則代表磁場的散度為0。公式表示為

      根據高斯磁定律，磁場也是一種向量場，而向量則代表磁場通過的方向，磁場的散度為0意思是說這是一種螺線向量場(Solenoidal Vector Field)，也就是說磁場是一種封閉式的向量場，把磁鐵一分為二，必然會產生出新的具有兩極的磁鐵，而不是只產生出僅有S極或是僅有N極的磁鐵。

      假設磁場散度不為0(也就是說磁單極子存在)，則磁場的散度將會與磁單極子的密度(磁荷密度)成正比，磁場將會呈現一種向外擴散的形式而非如下圖一樣不斷繞圈圈。

磁場線如圖所示為封閉型態(螺線向量場)，代表磁場的散度為0

法拉第電磁感應定律

        此定律於1831年由英國物理學家法拉第(Michael Faraday)發現並且發表，不過其實美國科學家亨利(Joseph Henry)在1830年比法拉第更早發現這個定律。電磁感應定律說明了任何封閉電路中的電動勢(Electromotive Force, emf,簡單來講就是電壓差)等於通過此電路之磁通量(磁場大小)的變化率。從數學上來看，磁通量變化率等於電場的旋度(Curl, 繞著某個點的旋轉程度)，公式為

      高中時的物理課應該有教過所謂的「右手定則」，從公式上來看就能解釋為何可以用「右手定則」電場與磁場之間的關聯了。此方程式的意義在於電場若與某平面呈現逆時針，則磁場隨著時間變化會更常指向平面(與旋度異號)。

右手開掌定則可以幫助學生簡單了解磁場(B)、電流(I)與受力(F)間的關係

       法拉第電磁感應定律一個很重要的應用就是發電機，利用磁鐵對於某個導電體轉動時產生的電動勢，電線上面又有連接負載(即電源兩端的電路元件，例如電池)，藉此產生電流。

發電機的結構

       出國時會遇到不同國家使用的電壓不同的問題，所以會用到變壓器，變壓器也是法拉第電磁感應定律的重要應用之一。在兩個導電體上安裝不同數量的線圈，讓電流通過時產生電壓差，是最簡單的變壓器運作原理。變壓器的兩端的電壓會與線圈圈數成正比。

變壓器的電路圖圖示

馬克士威-安培定律

               這是從安培定律(Ampère's Circuital Law) 延伸而來的，原先是法國物理學家安培(法語:André-Marie Ampère)於1826年提出的，內容主要闡述載流迴圈(電路)產生的磁場方向(安培右手定則)。更嚴謹的定義則是說明了電流與磁場沿著電路的路徑積分兩者之間的關聯。

安培右手定則圖解

       到了1861年，馬克士威認為原先的安培定律在電場含有時間的情況下不成立，因此他又重新推導了一次，將安培定律修正成符合電動力學的條件。馬克士威-安培定律的公式為

        根據馬克士威安培定律，有了位移電流的條件以後，可以準確地推測出光波也是電磁波的一種。位移電流並不是真正的電流，定義上是指電位移對時間的偏導數，而電位移是指某個電介質內的自由電荷產生的一種效應。因為位移電流能夠把光、電與磁結合成一體，而被視為近代物理學的一大重要里程碑。

參考資料與圖片來源:
[1] 台大數學系開放式課程高等微積分講義
[2] 政大應數所偏微分方程上課筆記
[3] 網路圖片1_磁場線
[4] 網路圖片2_右手開掌定則
[5] 網路圖片3_發電機
[6] 網路圖片4_變壓器電路圖
[7] 網路圖片5_安培右手定則
[8] 法拉第電磁感應定律_維基百科