Fundamental Theorem of Asset Pricing (F.T.A.P)

     
        在財務經濟學中，無套利機會(Arbitrage-Free)與資產訂價(Asset Pricing)猶如連體嬰一樣密不可分，而資產訂價基本定理(Fundamental Theorem of Asset Pricing, F.T.A.P)就是把這兩個概念串在一起最重要的定理。簡單來講，資產訂價的假設之一就是沒有套利機會的存在。資產訂價基本定理的敘述是

• 無套利機會存在，若且唯若狀態價格之向量(Vector of State Prices)存在

要了解財務經濟學這個最重要的定理之一，首先要了解以下這些定義

狀態價格(State Price)

         資本市場的主要目的是要提供人們一個借貸或買賣的大平台，以及讓人們有一個處理風險的機制。牽涉到商品的交易，了解資產價格的特性會變得很重要。我們先假設有一個經濟體只有兩種日期：t=0與t=1，以及在t=1時有S種可能發生的事件，稱為「狀態」(State)。要精確定義的話，「資產」(Asset)就是指在t=1時，在S種狀態下可以獲得或者要付出某種東西的義務之集合。

        接著我們來探討「資產價格」(Asset Price)。假設有N項資產組合成一個「投資組合」(Portfolio)，而某個擁有這N項資產的人，在狀態s時能夠獲得以下這麼多單位的商品：

         用矩陣表示的話就是

        其中d_sn就是在狀態s下有這麼多單位的商品，同時也是資產的利息(Dividend)；x_n代表資產的數量。資產本身也會在t=0時有成本，也就是說在t=0時要付出某些代價去換取這些資產，簡單來講就是「資產價格」了，用以下的資產價格向量q表示資產n的價格

        所以這N項資產的成本就是

        若我們再把t=0與t=1時，這N項資產擁有者的「利息流向」(Dividend Stream)組合成一個向量的話，則與這N項資產相關的「利息流向」為

        要了解「資產價格」，最後需要探討的元素就是「狀態價格」(State Price)了。「狀態價格」ψ直觀上來講就是指在狀態s下，每單位消費的價格，若資產價格與每個狀態下的消費價格是一致的，資產價格就是這些利息價格的總和。以數學公式表示為

 

套利(Arbitrage)

        在經濟學上，「套利」是指一種能夠在不用承擔任何風險的情況下，獲得正向報酬的投資行為。目前我們已經探討過「利息流向」，就是將投資人在t=0與t=1的利息狀況表示成向量(負號代表流出，正號代表流入)。從數學公式來看，某個投資組合X是「套利」就是指「利息流向」大於0

        「套利」能夠讓一個投資人用「不大於0」的成本，獲得「不小於0」的報酬。在至少一種狀態下該投資人的成本可能是負的(或者報酬可能是正的)。因此「套利」用白話文來講就是一種「白吃的午餐」。

        無套利機會是讓市場達成均衡狀態(Equilibrium)的必要條件。市場上假設存在有套利機會---可能人們能夠用低於合理價格的價格去買到某種東西，再用一種高於合理狀況的價格賣出，則人們透過這種不用付出成本就能獲得報酬的交易下，一次一次地市場就漸漸地不再有套利機會，市場會達到平衡。

資產訂價基本定理的證明

        證明將會分成兩個部分：

• 狀態價格的向量存在，則無套利機會 (1)
• 無套利機會，則狀態價格的向量存在 (2)

證明(1)比較簡單，只要用矛盾證法(Proof by Contradiction)以及簡單的矩陣運算就行了。

但是(2)的證明就比較複雜一些，因為會牽涉到Farkas' Lemma：

附帶一提，Farkas' Lemma在非線性優化扮演了很重要的角色。透過Farkas' Lemma我們能夠證明(2)

參考資料與圖片來源
[1] Cochrane, J. Asset Pricing, Revised ed.
[2] London School of Economics FM436: Financial Economics Handout
[3] Farkas' Lemma_Wikimization
[4] 政大應數所優化理論上課筆記
[5] 網路圖片_紐約證券交易所