Fundamental Lemma of Differentiation

       許多科系都會把微積分課程列為大一必修：數學系、物理系、心理系、醫學系、電機系、財金系、經濟系與政治系等等。或許實務運用上不會遇到微積分或其他比微積分更深入的數學，例如要從事金融業當中某些業務，必備的技能就並非微積分；然而，若要從事學術研究，包括自然科學與社會科學等等，都會需要看懂嚴謹的數學所寫出來的各種理論，而微積分又是許多更深入的數學之基礎。無論是理學院、工學院、醫學院、商學院或是社會科學院，隸屬於這些學院的幾乎所有科系或多或少都會接觸到微積分。

       大學微積分剛開始不久，首先簡單介紹何謂「極限」，接著說明「導數」與「微分」，最後就是「積分」與「級數」了。有些內容涵蓋較多的學校或科系還會簡單教一些「微分方程」，或者也有某些只教一學期之微積分的科系不會涵蓋到「積分」的內容。微積分原則上來講就是涵蓋這些東西。

        大多數的內容與專有名詞不至於像雙胞胎一樣令許多人傻傻分不清楚，但第一個學期開始不久，就會遇上一個名詞定義上的問題：「可導」與「可微分」是不是兩個一樣的概念?

微分引理 (Fundamental Lemma of Differentiation)

        這個定理就能幫助我們把「導數」與「微分」做個區分，微分引理的定義是

• 假設f為定義於x點附近的實數函數，f於x點「可微分」，若

「微分」就是透過「微分引理」所引進的，接下來談談「導數」與「可導」的問題。f在x點可導的意思就是以下的極限存在(也就是函數的切線存在)

對照一下以上這兩個式子，然後將ε用以下方式代換

我們發現當Δx趨近於0時，ε就會趨近於0，所以就導引到了微分引理。由此可知，單變數函數之「可導」與「可微分」沒有差別。

        雖然這樣說起來，好像我們何必要多弄出另外一個名詞來讓大家了解，但是多變數函數時以上這兩個概念就有差別了。根據單變數的微分引理，一個函數可微分，意思就是說它可以用線性函數很貼切地逼近。那多變數函數的情況呢?北宋著名詩人與詞人蘇東坡寫過《題林西壁》這首詩

             「橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中」

有個物體可能從某個角度來看像是一座小圓丘，但是換個方向看卻又很像尖山。可微分的定義就是在某個點附近是能夠用線性函數去逼近的。因此，多變數函數很可能發生一種在某種角度下可微分，換個角度以後卻又不行的情況。以二維函數為例，雙變數的微分引理為

• f(x,y)為雙變數函數，它在(x,y)點附近可微分若

       雙變數函數在某個方向上可導，意思就是在某方向上的偏導數存在，也就是在某方向上存在有某平面能夠與之相切。但是偏導數的概念與微分能處理的「平滑性」(Smoothness)又會有差別，可能某個函數的偏導數從哪個方向來看都相同，但是卻會在某個點並不連續。可微分的點必定連續，所以不連續的點並沒有所謂平滑性，然而某個函數雖然連續，卻又在某處有尖銳的點，也一樣沒有平滑性。實際上，處處連續卻又處處不平滑(不可微分)的函數在大自然界中真的存在，布朗運動(Brownian Motion)就是一個例子。

二維布朗運動就是一種處處都不平滑的函數

附帶一提，我們能從拓撲學當中的貝氏類集定理(Baire's Category Theorem)的概念說明，以上這種處處連續卻又處處不平滑的函數其實還有很多。

鏈鎖定律 (Chain Rule)

        接觸導數的單元時，還會接觸到以上的這個定律，以單變數函數為例

• 假設g於x點可導，f於g(x)點可導，令h(x)=f(g(x))，則h於x點可導而且h'(x)=f'(g(x))*g'(x)

        最符合邏輯的證明方式其實也要透過微分引理

參考資料與圖片來源:

[1] 台大數學系開放式課程_高等微積分講義

[2] 網路圖片_布朗運動