Murphy's Law

         不曉得各位看倌有沒有一種經驗：你知道某天應該會下雨，卻又很想去打籃球，因為你已經跟朋友約好要打球了。當你在操場上汗如雨下時，天空是烏雲密佈，風也漸漸得大了起來，草地與泥土混合起來的氣味非常濃厚，燕子也飛得愈來愈低，而且你也很快想起了一首詩：「溪雲初起日沉閣，山雨欲來風滿樓」，此時，你卻又心想：「嗯，我應該不會這麼衰，就被雨淋到吧。」

        誰料想過了幾分鐘以後突然轟雷一響，大雨傾瀉在你們的身上，頓時令你們猝不及防，只好趕快躲到遮雨棚等雨停。幸好你還能苦中作樂，跟朋友模仿起電影《那些年，我們一起追的女孩》男女主角在雨天的宿舍門口吵架的情景。但你應該萬萬沒想到，明明知道會下雨，卻又覺得自己應該不會被雨淋吧，最後仍然沒能逃過被雨淋的命運。

莫非定律 (Murphy's Law) 與數學證明

       以上這種情景可以用一個統計學的定律表示：莫非定律 (Murphy's Law)。這個定理就是說凡是可能會出錯的事情(例如：下雨天出門被雨淋)，它早晚會出錯，英文原文是"Anything that can go wrong will go wrong"。以下先提供簡單的數學證明：假設某件事情在1個單位時間內出錯的機率為ε>0，並且服從某種分配，然後為了證明上的方便，假設ε為iid (identical and independently distributed，也就是每個錯誤發生的機率彼此獨立而且服從相同的分配)。

        依據以上的假設，某件事情在T個單位時間內不會出錯的機率就是(1-ε)^T。假設T趨近到無窮大，則當時間軸趨近於無窮長時，我們就能證明出，會出錯的事情就必然會出錯：

        根據定義，莫非定律其實也是機率論的其中一個「零一律」(Zero-One Law)，也就是某件事情要嘛會發生，要嘛不會發生，之前在本網誌上提到的Borel-Cantelli Lemma是一種零一律。機率論中會如此肯定某件事情一定會發生的例子著實少見。

莫非定律的起源與相關案例

       1949年的美國加州的愛德華茲空軍基地(Edwards Air Force Base)，有一個名為愛德華•莫非(Edward Murphy)的上尉工程師，他與上司斯塔普上校(Colonel John Paul Stapp)一起執行某個高速載人工具的計畫，要求底下的工程師把某個儀錶板按照標準程序裝好，結果工程師們沒有按照標準程序執行下，就多達47個儀表板都裝錯了。

         某個研究員發現了這種現象以後，就用Edward Murphy的姓氏命名這種情況，也就是說任何該出錯的事情終究會出錯，而且如果有多種方法去做某件事情，其中一種方法會導致災難，則必然有人會選擇這種要命的方式去做事情。

美國航空191號班機空難 

        1979年5月25日，一架從芝加哥歐黑爾國際機場(O'Hare International Airport)飛往洛杉磯國際機場(Los Angeles International Airport)的定期航班，因為該航空公司採用的維修方式不當，導致了其中一個引擎在剛起飛不久時脫落。該架飛機屬於當時被廣泛使用的DC-10機型，照理講就算少了一個引擎，僅剩下兩個引擎的情況下仍然可以順利降落，但是因為引擎線路設計不良的緣故，引擎脫落時連帶把能夠提供升力的襟翼線路也扯掉了，造成襟翼無法正常伸出，最終就釀成了這起空難，使得飛機上的273人全數死亡，連帶造成了墜落地點的飛機庫的2名工作人員死亡。這是美國航空史上最重大的空難之一。

       經過詳細調查以後，發現事發原因是原本DC-10的製造商要求把引擎拆下檢查後再裝回去，必須嚴格按照某個規矩執行，然而多數航空公司都覺得那個規矩執行起來實在太花時間，所以一直以來，安裝引擎時都是用比較簡便的方式執行。但是這種簡易的執行方式，因為會把支撐引擎的吊帶金屬撞歪，就造成了引擎安裝不穩固。經過這起事件以後，美國方面決定全面禁飛DC-10機型，國外的DC-10機型則不得飛入美國領空。當時因為幾乎所有航空公司的機型都是DC10，禁飛的政策對於美國航空業造成了重大衝擊。

        國家地理頻道節目《空中浩劫》(Air Crash Investigation)有介紹過許多大大小小的空難，其中不乏這種因為沒有按照標準程序進行維修與安全檢查，進而釀成重大災難的案例。莫非定律告訴我們，凡是會出錯的事情，早晚一定會發生，所以對於安全檢查絕對不能存有僥倖心態。

美國航空191號班機失事現場

莫非定律與管理學

        莫非定律在安全管理上有重要的概念應用。它提醒了管理者：差錯難以避免，隨時都可能有意外發生，因此管理者應該要有更積極的作為，隨時提高警覺保持安全。即使是所謂的小機率事件(Small Probability Event, 例如之前在本網誌上提過的LTCM瀕臨倒閉事件)，若我們誤以為它不會發生而疏於防範，結局恐怕會是一場大驚喜。

        在工業管理學上，「防呆機制」(源自於日本將棋術語ポカ---不小心下錯的棋子，與日語ヨケ---預防，英文則是翻譯成Mistake-proofing)就是將莫非定律反過來運用的一個例子，它的主要原理就是透過一些警報裝置，提醒使用者不要去犯一些可能很容易會犯下的錯誤，進而避免了許多可能的意外發生。

        其實也不只是工業管理，日常生活中也常見防呆機制。為了防止小孩誤食了大人的藥品，而把它放在高處，就是一種防止小孩出事情的防呆機制；當你開著車子奔馳在路上，油表突然亮了紅燈提醒你該去加油了，也是一種防呆機制。你可以很直覺的依據警報機制去動作，而避免了很多意外。

參考資料與圖片來源:

[1] 網路圖片1

[2] 網路圖片2

[3] 網路圖片3

[4] London School of Economics FM404: Forecasting Financial Time Series Handout

[5] Borel-Cantelli Lemma by 遠得要命的數學王國

[6] Black-Scholes Option Pricing Model by 遠得要命的數學王國

[7] 空中浩劫第12季_1979年美國航空191號班機空難

Generalized Method of Moments

         計量經濟學或是數理統計學都會學到許多種估計參數的方式，例如：最小平方法(Least Square，某些線性代數課也會教)、最大概似估計法(Maximum Likelihood Estimation, MLE)，或者是動差法(Method of Moments, MM)。這些估計方式操作起來都不難，但是在實務運用上會出現一個問題，那就是這些估計方式都要求必須知道參數服從的機率分布，然而許多經濟理論其實都不會假設各參數服從哪些機率分布。

        自20世紀中葉開始，已經有許多經濟學家設法找出一種估計方式，能夠在不用知道參數分配的情況之下，也能夠估計參數，其中最有名的一個，就是由芝加哥大學經濟系教授漢森(Lars Peter Hansen)於1982年提出的廣義動差法(Generalized Method of Moments, GMM)，他本人則是在2013年與席勒(Robert Shiller)與法馬(Eugene Fama)，共同因為對於實證資產訂價方面的貢獻而獲得了諾貝爾經濟學獎。廣義動差法因為條件假設較寬鬆，相較於其他許多估計方式更貼近經濟與金融市場的現況，被許多經濟學家與金融研究者廣泛應用至今。

提出了廣義動差法的芝加哥大學教授Lars Peter Hansen

廣義動差法

        在廣義動差法當中，我們只需要知道參數的動差條件(Moment Condition)，就能透過一階條件找出參數的估計量(Estimator)。廣義動差法的估計量定義是

此處，y_t為隨機變數，θ為參數，h(y_t, θ)為動差條件組成的向量，E[h(y_t, θ)]=0，W_T是一個正定矩陣(Positive definite matrix，即所有特徵值均大於0的矩陣)，主要用途在於當動差條件數量多過參數數量時(也就是m>p)可以調整權重。

廣義動差法的特性

       我們說某個數量很大的樣本有一致性(Consistency)，若它會依機率收斂(Converge in probability)到某個值。廣義動差法的估計量在樣本很大的情況下有一致性，因為

根據大數法則(Law of Large Numbers)，g_T設為0以後，θ的估計量會收斂到能讓動差條件的期望值為0的條件。

        此外，廣義動差法的估計量之漸進分配(Asymptotic distribution)就是常態分佈，常態分佈是許多統計學假設的分佈，因此漸進分配是常態分佈能讓統計實證上更加方便。證明漸近常態的方法大致上就是先分析Q_T的一階情況，然後把g_T(θ_T hat)做均值展開(Mean-value expansion)，最後只要能證明到(θ_T hat-θ_T )會依分配收斂(Converge in distribution)到常態分佈即可。

       最後，廣義動差法的估計量在樣本較小的情況下，有時候會是不偏的(Unbiased)，有時候卻又沒有不偏性，主要原因在於動差條件的函數特性與先前提到的權重矩陣的選擇上。使用廣義動差法做信賴區間(Confidence interval)估計時，有時候也會是能剛好收斂到目標大小上，有時候區間卻又會太小，主要原因也與動差條件的函數特性與先前提到的權重矩陣的選擇有關。如何選擇動差條件與權重矩陣可以參考Hall出版的Generalized Method of Moments Section 7.3。

廣義動差法與其他估計方法的關係

        以前在計量經濟學上常接觸到的估計方法，例如：最小平方法、最大概似估計法或是工具變數法(Instrumental variables)，其實都是廣義動差法的變種。以下一一來整理:

• 普通最小平方法(Ordinary Least Square, OLS)

普通最小平方法的假設之一就是解釋變數與殘差項彼此獨立，也就是兩者乘積的期望值為0，因此(以下變數將會以向量形式呈現)

附帶一提，同樣是假設殘差項與解釋變數獨立，但變異數卻不是常數的廣義最小平方法(Generalized Least Square, GLS)也是廣義動差法的變形。

• 工具變數法(Instrumental Variables, IV)

同樣是簡單線性迴歸，殘差項卻不會跟解釋變數獨立(也就是說解釋變數是內生性變數)，此時只需要找另外一個與殘差項獨立的變數即可:

• 最大概似估計法(Maximum Likelihood Estimation, MLE)

最大概似估計法的原理是使用概似函數(Likelihood function)找出某個估計量的最大可能性，藉此做為估計參數的標準。

參考資料與圖片來源:

[1] London School of Economics FM404: Forecasting Financial Time Series Handout

[2] London School of Economics FM437: Financial Econometrics Handout 

[3] Hansen, L.P.(1982), Large Sample Properties of Generalized Method of Moments Estimators, Econometrica, 50, 4, 1029-1054

[4] Hall, A.R.(2005), Generalized Method of Moments, Oxford University Press, Oxford

[5] 網路圖片

Pareto Optimality

        經濟學是一門研究如何合理分配資源以及研究生產與消費的社會科學。人們想了解社會上的資源要如何分配才會比較合理，或許也會好奇：究竟世界上有沒有一種資源分配可以讓大家都幸福呢?

       經濟學上，其實是有指標能量測人們對於某件事情或某項資源的滿足感(Satiation)，或者是偏好程度(Preference)，稱為「效用」(Utility)。對於某項資源分配之效用愈大，則該個體對於該分配會有更多的滿足感。如果某個人的效用更高了，則他的情況會變好(經濟學術語稱為"Better off")；反之，則情況變糟(Worse off)。

帕雷托最優 (Pareto Optimality) (Pareto Efficiency)

        這是一種資源分配上的理想狀態，由義大利經濟學家帕雷托(義大利語: Vilfredo Federico Damaso Pareto)於20世紀初提出，他主要想闡述: 當一種資源分配狀態達到了一種境界，使得此時不可能在不使其他人狀況更糟的情況下，讓一個人狀況更好，就是資源分配上的帕雷托最優。這只是各種理想狀態中的「最低標準」而已，也就是說當一種狀態還未達到帕雷托最優，那它就是不理想的，因為仍然還能在不損害到任何人的情況下提升狀況。

        數學化的定義:某個可行的資源分配(Feasible Allocation)設為{X_1,X_2,...,X_n}，它是帕雷托最優的分配若且唯若不存在另一種資源分配{X_1#,X_2#,...,X_n#}使得對於所有的n而言，U(X_n#)>U(X_n)，或者對於某些n而言，U(X_n#)>=U(X_n)，U為效用函數)。

        須知定義帕雷托最優時，並不會用到價格。

福利經濟學基本定理 (Fundamental Theorem of Welfare Economics)

        福利經濟學基本定理描述了在某些理想化的條件下，市場經濟下的競爭均衡點(Competitive Equilibrium)等價於帕雷托最優的分配 。第一定理敘述在以下這些條件下，競爭均衡點可以推演到帕雷托最優:

• 完全市場(Complete market)=沒有交易成本，資訊也能完全流通
• 沒有壟斷者
• 對於任何一個分配方式，存在有另一種分配方式非常接近它，使得人們更偏好之(Local Nonsatiation, LNS)

         第二基本定理簡單來講是第一定理的逆敘述。第二定理敘述的是有一個帕雷托最優的分配，假設初始稟賦(Initial Endowment)的位置等同於帕雷托最優，則帕雷托最優就是競爭均衡點。

帕雷托最優與公平性

         有一點特別有趣，就是帕雷托最優雖然是一種資源分配上的理想狀態，但它卻跟公平性沒關係。依照帕雷托最優的定義，某個獨裁者若要佔盡國家所有資源，而不分給人民使用，則因為要使獨裁者更好就肯定會損害到人民的福祉，那個經濟體就達成了帕雷托最優的狀態。其實目前北韓的狀況算是全世界的經濟體當中，非常接近帕雷托最優的一個呢。

要達到效率性，透過高度獨裁也是一種方式，但人民的福祉會就此被犧牲掉

        此外，在市場經濟中，如同目前的台灣以及美國一樣，帕雷托最優儼然跟桃花源一樣，只在理想狀態下才會出現了。現實生活中會看到有壟斷事業，也會有各種資訊不對稱的情況產生，資源分配其實永遠都能更理想，但我想，就是因為世界並非完美，人們的生活才變得更多采多姿，也讓人們有更多理由去戰鬥吧。

參考資料與圖片來源:

[1] London School of Economics EC411: Microeconomic Theory Handout

[2] John. H. Cochrane Asset Pricing Website_University of Chicago

[3] Pareto efficiency_Wikepedia

[4] 網路圖片

Borel-Cantelli Lemma

       這是一個由法國數學家與政治家博萊爾(法語:Félix Édouard Justin Émile Borel)與義大利數學家坎特利(義大利語:Francesco Paolo Cantelli )共同提出的定理，此為機率論當中的其中一個「0-1定理」(Zero-One Law)，它敘述了在某些情況之下，某個事件的發生機率不是0就是1。能夠如此確定某件事情一定會(或一定不會)發生，就機率論來講算相當少見。Boerl-Cantelli Lemma白話文敘述大致為:

       無窮多個(Infinite)事件發生的機率，其總和若為有限(Finite)，則此無窮多個事件同時發生的機率為0

數學定理敘述方式:假設E_1到E_n為某個機率空間中的n個事件，如果

則

測度論或是機率論中的limit suprenum(簡寫為lim_sup，上極限)等價於這些事件"Infinitely Often, i.o"，也就是無窮多個事件同時發生(交集--Intersection--就代表「同時發生」的意思)。附帶一提，limit infinum(簡寫為lim_inf，下極限)等價於這些事件"All but Finitely Often, f.o"，也就是說無窮多個事件，在某些情況下，並不會滿足某個條件。例如:"n^2-100 is positive in natural numbers all but finitely often"。

        Borel-Cantelli Lemma簡易的證明如下:

The Second Borel-Cantelli Lemma

      此定理是Borel-Cantelli Lemma的延伸，它的敘述是:

      獨立的無窮多個事件機率總和若為無窮大，則此無窮多個事件同時發生的機率為1

數學定理敘述方式為:如果 

則

      The Second Borel-Cantelli Lemma簡易的證明

Infinite Monkey Theorem

       此為The Second Borel-Cantelli Lemma的一個重要思想上的應用，它敘述了一隻猴子的打字次數達到「無窮」以後，必然能夠打出一篇完整的文章，例如:完整的哈利波特小說系列。這個敘述由Borel於1909年在他某本出版的機率論書籍提出，不過他並非第一個提出這個思想的人，早在1735年，英國作家斯威夫特(Jonathan Swift)撰寫的《格列佛遊記》(Gulliver's Travels)  就有提到某位教授要學生轉動機械把手，隨機產生字句以建立知識表的場景了 。

        須知此定理當中，「必然」是數學上的定義(機率為1)，然而「猴子」卻不是真的猴子，牠也可代換成「打字員」，它主要想說明的論點是不要把非常大但是有限的數視同無限 。就英文字而言，隨機打出一個與指定文字相同者的機率是(1/26)，隨機打出兩個相同字的機率則是(1/26*26)=(1/676)=0.148%。光是要打出20個完全與指定文字相同的機率，就已經小於10^(-29)了，在現實時空下，要讓一隻猴子用隨機打字的方式打出一篇完整的莎士比亞劇本，機率是微乎其微(趨近於0)，因為現實是一種非常大的有限(而不是嚴格意義上的無限)。現實是在猴子的生命週期中，不太可能打得出一篇完整的文章。現實生活中非常多件事情雖然還是有可能同時發生，但機率不會是1(也就是不必然)。同理，有可能某些事情非常不可能會發生，但機率不會是0。

        The Second Borel-Cantelli告訴我們，眼光放至「無窮」，才能說什麼事情不是「一定會」發生，就是「一定不會」發生。現實生活因為並非無限，任何事情都應該要考慮到「可能性」才是。

參考資料:

[1] 政大應數所_高等機率論上課筆記

[2] 政大應數所_實變函數論上課筆記

[3] Durrett, R (2013). Probability Theory and Examples, 4th ed.

[4] Borel-Cantelli Lemma_Wikepedia

[5] Infinite Monkey Theorem_Wikipedia

Schrödinger Equation

      在量子力學領域，由奧地利物理學家薛丁格(德語:Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger)提出的薛丁格方程(德語:Schrödingergleichung)，是一種描述物理系統如何演化的偏微分方程式。薛丁格方程非常完備地描述了整個物理系統，小至粒子的量子行為，大至整個宇宙，薛丁格方程還可以分成「含時薛丁格方程」與「不含時薛丁格方程」兩種。

提出薛丁格方程，對量子力學有卓越貢獻的奧地利物理學家薛丁格

含時薛丁格方程(Time-Dependent Schrödinger Equation)

        含時薛丁格方程描述某量子的波函數如何隨時間演化。波函數是量子力學的一個非常重要的概念，是用來描述量子系統的狀態---量子態(Quantum State)的一項工具。有相當多與量子力學相關的重要謎團都與波函數有關，薛丁格方程則是可以描述波函數的行為，因此也是一種波方程(Wave Equation)的型態。最廣義的公式如下:

其中H代表哈密頓算子(Hamiltonian)---代表了波函數的總能量，Ψ代表波函數，i為虛數，h為描述量子大小的約化普朗克常數(Reduced Planck Constant)，讀音為"h-bar"，數值為1.0545718*10^(-34)焦耳•秒。

        在三維空間裡面，移動於某個純量勢的粒子可以用以下更具體的薛丁格方程描述為:

其中m代表量子質量，Ψ(r,t)代表某個參數是位置r與時間t的波函數，V(r)為參數為位置r的純量勢。倒三角形平方則是代表拉普拉斯算子(Laplace Operator)，也就是某函數所有的二階偏導函數的總和。

不含時薛丁格方程(Time-Independent Schrödinger Equation)

        不含時薛丁格方程與時間無關，它說明了波函數可以處於定態(Stationary State，即機率密度函數與時間無關的量子態)。若能解析這些定態則分析含時薛丁格方程也會更加容易，最廣義的不含時薛丁格方程為:

其中H一樣代表波函數的總能量，E則是指量子態的能量，是一個比例常數。此方程式又稱作「定態薛丁格方程」(Stationary State Schrödinger Equation)或是「能量特徵薛丁格方程」(Energy Eigen Schrödinger Equation)，前者已經說明是因為此時量子處在定態，後者則是從借用於線性代數的術語，特徵值(Eigenvalue)即能夠讓新向量與原本的向量能維持於同一條線上的比例常數。特徵"eigen"一詞來自於德語，意思是「自身的」，「有特徵的」，「個體的」。

       在三維空間裡面，移動於某純量勢的粒子可以用以下更具體的不含時薛丁格方程描述為:

物理意義

       薛丁格方程與海森堡不確定性原理(德語:Heisenbergsche Unschärferelation) (英語:Uncertainty Principle)有密不可分的關聯。在古典力學裡面，任何粒子都有確定的位置與動量(Momentum,即速度與質量的乘積)，但是依據薛丁格方程可以發現並非如此。從含時薛丁格方程中，我們能夠推算出波函數的機率分佈，因此可以預測出粒子在某時段位於某區域的機率。

        而薛丁格方程當中出現的波函數，我們可以從傅立葉級數發現，波長愈明確，則波的位置愈不明確 ；波的位置愈明確，則波長卻又愈不明確，而波長=波速*週期。這個結果就詮釋了海森堡不確定性的精神:粒子的位置與速度(動量)無法同時被確定。

參考資料:

[1] 政大應數所_偏微分方程上課筆記

[2] 薛丁格方程式_維基百科

Mean Reversion

       均數復歸(Mean Reversion)雖然是金融學上的一個重要概念，但是其實整個大自然中也隱含了均數復歸的結構。均數復歸的數學模型最早是在1930年提出的Ornstein-Uhlenbeck Model(O-U Model)，它是一種隨機微分方程(Stochastic Differential Equation, SDE):

          以上的公式中，x_t是我們想去量測的參數(例如:股價、利率等等)， θ是x_t回歸到長期平均水平的速度，μ是長期平均水平，σ則是標準差。布朗運動(Brownian Motion, Wiener Process)是一種沒有摩擦力的隨機過程，在某段時間內服從平均數為0，變異數為該段時間長度之常態分佈，O-U過程則是考慮到粒子也會受到某些力量影響，而往它的長期趨勢線移動，因而隨機微分方程之飄移項(Drift Term)之係數(也就是dt前面那一串)不會是0。

福克-普朗克方程(Fokker-Planck Equation)

         以上提及的均數復歸(以下沒特別說明都直接簡寫為O-U過程)，是因為考慮到粒子可能受到摩擦力以後，方向可能會受到改變而將其用參數化表示。若我們想了解某個粒子在某個位能場受到隨機力量衝擊，隨著時間演進之位置或是速度的機率密度函數(Probability Density Function, PDF)，用白話文就是說想要了解某粒子受到一個隨機的力量衝擊後，某段時間之內可能的位置或是速度，就能夠用福克-普朗克方程式(Fokker-Planck Equation)來描述。此方程式的命名來源是荷蘭物理學家福克(荷蘭語: Adriann Fokker)與德國物理學家普朗克(德語: Max Karl Ernst Ludwig Planck)，同方程式又被稱作向前方程式(Kolmogorov Forward Equation)，因為前蘇聯科學家科莫哥洛夫(俄語:Андре́й Никола́евич Колмого́ров，羅馬化: Andrey Nikolaevich Kolmogorov)也在1931年單獨發現了這個方程式的機率意義。

         假設某個粒子符合以下的隨機微分方程:

         則該粒子之位置在某段時間內的機率密度函數f(X,t)就符合以下的福克-普朗克方程(向前方程式)

        所以若某粒子符合開頭提及的那個O-U模型，它的位置之向前方程式就是

      此為一個有解析解(Analytic Solution)的偏微分方程，解出來以後我們會發現該粒子受到隨機衝擊力以後，仍然會在某一段時間內符合常態分佈。求解偏微分方程時，格林函數(Green's Function)是其中一種解法，考慮了在某一點y之初使條件(Initial Condition)以後，一個質點x的向前方程式的格林函數為

       將時間設為無限大求極限值就能求出向前方程式的解

       由O-U過程的向前方程式我們知道，在某段長度為(σ^2)/2θ的時間內，它是從μ開始的布朗運動。雖然受到了摩擦力，該粒子在某段時間內之機率仍然服從常態分佈。

求解O-U過程

       若我們還想進一步了解服從O-U過程的粒子的位置期望值，則需要求解O-U過程。求解的過程會牽涉到一些變數變換，大致步驟為:

接著從0積分到t就能把O-U過程的解弄出來了

        因為布朗運動的期望值是0，某個函數對布朗運動積分以後取期望值也會是0，因此O-U過程的期望值為

金融上的運用

         在財金領域，有不少指標都會被考慮是O-U過程或是其衍生型，例如：利率、匯率、某些商品價格或者是股價，其中利率模型是最早被視為O-U過程的一種指標。1977年，捷克數學家Vasicek(捷克語:Oldřich Alfons Vašíček )就假設短期利率服從O-U過程，也率先打破了Black-Scholes選擇權訂價模型對於無風險利率必須是常數的假設，就金融工程的研究而言，Vasicek Model算是打開了先河---從此利率也可以考慮到隨機因素了。雖然就現今的角度來看，Vasicek Model有相當多需要改進的部分，包含了長期平均水準也可能會變動，以及利率模型通常與債券以及債券相關產品的訂價脫離不了關係，但Vasicek Model比較無法描繪出債券的殖利率曲線(Yield Curve)，不過Vasicek Model仍然是一個佔有重要學術地位的利率模型。

      商品價格波動度有時也會被假設有均數復歸的現象，這同時也代表波動度有叢聚效應(Volatility Clustering)，白話文來講就是大波動跟著大波動，小波動跟著小波動。計量經濟學有一種用來描述波動度叢聚效應的重要模型是GARCH模型(Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity,廣義自回歸條件異方差模型)，在連續時間軸上為

V代表商品報酬的變異數，與Black-Scholes選擇權訂價公式的假設不同，GARCH模型假定商品報酬波動度會受到時間影響，相較於Black-Scholes選擇權訂價公式，這種隨機波動度模型更容易描繪金融商品可能會出現的笑狀波幅(Volatility Smile)。而在計量經濟學上，更常使用的是離散的時間軸，以上的模型在離散時間軸上為

以上是考慮了波動度同時會受到前一期的波動度以及前一期的殘差項所影響，所以這是GARCH(1,1)模型，而GARCH模型的預測精準度會受到各項係數的影響。 α+β愈大則精準度會愈高(預測精準度之半衰期會愈長)，當 α+β趨近於1時預測精準度會變得很大，而若是GARCH(1,1)模型要用來估計資產每日報酬的波動度時，預測能力通常會變得較好。

      關於剛剛提及的Black-Scholes選擇權訂價公式可以參考以下連結:

•  Black-Scholes Option Pricing Model by 遠得要命的數學王國

無視回歸均值謬誤(Disregard of Regression toward the Mean)

       統計學上的均數回歸與先前提到的均數回歸意義上有些許的差異，而無視均值回歸的可能性有可能會導致思考上的謬誤。根據統計結果，大自然其實是會朝向長期平均水準趨勢移動的。根據英國科學家葛爾頓(Francis Galton)於1886年發表的研究，身高非常高的父母親通常不會將這種身高特性遺傳給小孩，反而小孩身高會逐漸趨向平庸值。他研究了好幾百對父母親與小孩的身高以後，他發覺到，父母身高若是比那些父母身高平均數高出2英吋(即大約5.9公分)，則小孩的身高會比他父母身高還要矮大約2英寸*(2/3)，也就是大約會矮4公分。換句話說，身高其實並不一定會代代相傳。Galton也發現到，種子的重量不會有遺傳的現象，而是漸漸朝向長期平均水準線移動。他在這篇研究中首次用到了相關係數(Correlation Coefficient)的概念，今日無論是高中數學課，或是大學統計課程教到的相關係數，就是源自於Galton。而他也是著名遺傳學家達爾文(Charles Robert Darwin)的表弟。

世界上第一個提出回歸均值概念，以及首度提出相關係數概念的英國科學家Francis Galton

      2002年的諾貝爾經濟學獎得主Daniel Kahneman認為無視自然界中有的均數回歸現象是一種思考上的謬誤。他認為某個人假設某次比賽表現特別不好，其實到後來他的表現是會漸漸回歸到平均值的，所以不用過於擔心有什麼複雜的原因。假設某個地區的氣候現今異常嚴寒，則某段時間以後該地氣候會漸漸回暖，反之亦然；假設某間避險基金這幾年的報酬率異常的高，則某段時間以後報酬率就會下降，而不是一直維持在高點；假設某個NBA球員在某幾場表現非常突出，則過了一陣子以後他其實表現會漸漸下降，而不會一直都維持溫熱的手感。大自然界中的循環現象其實再正常不過，有些時候人們不一定要把事情的原因看得過於複雜，認為什麼東西一定是人為因素。

      附帶一提，均數回歸其實並非來自於人們刻意去努力而達成，而是一種隨機現象。在Kahneman於2011年出版的《快思慢想》(Thinking Fast and Slow)中，他提到某個小孩先前考試考得非常高，於是老師稱讚他，然後該小孩被注意到下次考試考得比較差；另一個小孩先前考試考得非常差，所以老師就處罰他，結果該小孩下次考試就考得比較好了。

       如果老師不再稱讚小孩，而是只用處罰的方式呢?

       Kahneman就認為老師一味處罰小孩是個非常不明智的決定，因為均數回歸根本就不是所謂的因果關係(Cause and Effect)，而是一種在平均數附近的機率分布導致的隨機偏誤。簡單來講，某個小孩在某次考試考得不太好，不應該期望用外力去要求他隔天的考試(嗯，假設他隔天或者是幾天以後還有考試)就要考好。

       《老子 •第三十七章》:「道常無為而無不為，侯王若能守之，萬物將自化。化而欲作，吾將鎮之以無名之朴，鎮之以無名之朴，夫亦將不欲，不欲以靜，天下將自正。」

參考資料:

[1] Hull, J (2009) . Options, Futures and Other Derivatives, 7th ed.

[2] Kwok, Y. K (2008). Mathematical Models for Financial Derivatives, 2nd ed. 

[3] Sherve, S. E (2004). Stochastic Calculus for Finance--Continuous-Time Models
[4] Galton, F (1886). Regression toward Mediocrity in Hereditary Stature. Antropological Miscellanea, 15, 246-263.
[5] London School of Economics FM437: Financial Econometrics Handout

[6] Ornstein_Uhlenbeck process_Wikipedia
[7] Francis Galton_Wikipedia
[8] Regression toward the mean_Wikipedia

[9] 陳松男，2011，利率金融工程學，新陸書局，初版

[10] 李南錫，2017，為什麼我們總是相信自己是對的，高毓婷 譯，本事出版，初版

[11] 政大金融所_利率金融工程上課筆記

[12] 政大應數所_偏微分方程上課筆記
[13] Black-Scholes Option Pricing Model (遠得要命的數學王國)