這是一個由法國數學家與政治家博萊爾(法語:Félix Édouard Justin Émile Borel)與義大利數學家坎特利(義大利語:Francesco Paolo Cantelli )共同提出的定理，此為機率論當中的其中一個「0-1定理」(Zero-One Law)，它敘述了在某些情況之下，某個事件的發生機率不是0就是1。能夠如此確定某件事情一定會(或一定不會)發生，就機率論來講算相當少見。Boerl-Cantelli Lemma白話文敘述大致為:
無窮多個(Infinite)事件發生的機率，其總和若為有限(Finite)，則此無窮多個事件同時發生的機率為0
數學定理敘述方式:假設E_1到E_n為某個機率空間中的n個事件，如果
則
測度論或是機率論中的limit suprenum(簡寫為lim_sup，上極限)等價於這些事件"Infinitely Often, i.o"，也就是無窮多個事件同時發生(交集--Intersection--就代表「同時發生」的意思)。附帶一提，limit infinum(簡寫為lim_inf，下極限)等價於這些事件"All but Finitely Often, f.o"，也就是說無窮多個事件，在某些情況下，並不會滿足某個條件。例如:"n^2-100 is positive in natural numbers all but finitely often"。
Borel-Cantelli Lemma簡易的證明如下:
The Second Borel-Cantelli Lemma
此定理是Borel-Cantelli Lemma的延伸，它的敘述是:
獨立的無窮多個事件機率總和若為無窮大，則此無窮多個事件同時發生的機率為1
獨立的無窮多個事件機率總和若為無窮大，則此無窮多個事件同時發生的機率為1
數學定理敘述方式為:如果
則
The Second Borel-Cantelli Lemma簡易的證明
Infinite Monkey Theorem
此為The Second Borel-Cantelli Lemma的一個重要思想上的應用，它敘述了一隻猴子的打字次數達到「無窮」以後，必然能夠打出一篇完整的文章，例如:完整的哈利波特小說系列。這個敘述由Borel於1909年在他某本出版的機率論書籍提出，不過他並非第一個提出這個思想的人，早在1735年，英國作家斯威夫特(Jonathan Swift)撰寫的《格列佛遊記》(Gulliver's Travels) 就有提到某位教授要學生轉動機械把手，隨機產生字句以建立知識表的場景了 。
須知此定理當中，「必然」是數學上的定義(機率為1)，然而「猴子」卻不是真的猴子，牠也可代換成「打字員」，它主要想說明的論點是不要把非常大但是有限的數視同無限 。就英文字而言，隨機打出一個與指定文字相同者的機率是(1/26)，隨機打出兩個相同字的機率則是(1/26*26)=(1/676)=0.148%。光是要打出20個完全與指定文字相同的機率，就已經小於10^(-29)了，在現實時空下，要讓一隻猴子用隨機打字的方式打出一篇完整的莎士比亞劇本，機率是微乎其微(趨近於0)，因為現實是一種非常大的有限(而不是嚴格意義上的無限)。現實是在猴子的生命週期中，不太可能打得出一篇完整的文章。現實生活中非常多件事情雖然還是有可能同時發生，但機率不會是1(也就是不必然)。同理，有可能某些事情非常不可能會發生，但機率不會是0。
The Second Borel-Cantelli告訴我們，眼光放至「無窮」，才能說什麼事情不是「一定會」發生，就是「一定不會」發生。現實生活因為並非無限，任何事情都應該要考慮到「可能性」才是。
參考資料:
[1] 政大應數所_高等機率論上課筆記
[2] 政大應數所_實變函數論上課筆記
[3] Durrett, R (2013). Probability Theory and Examples, 4th ed.
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