Central Limit Theorem (C.L.T)

       在數理統計學中，最重要的幾件事情不外乎

• 了解隨機變數(Random Variable)的機率分配與動差(Moment)
• 為了了解母體(Population)的特性，但不太可能普查，而透過統計方法抽樣(Sampling)
• 透過機率分配進行假設檢定(Hypothesis Test)，以說明哪些統計實驗結果成立
• 遇到未知的參數時，想辦法透過統計方式找到估計量(Estimator)
• 想辦法建立迴歸模型(Regression Model)來探討影響變數特性的因子

其中，我們最先想知道的就是參數服從的機率分配或者是動差，因為這是統計學最基本的要素。如果我們不知道有限數量的樣本之機率分布，是無法執行假設檢定的，若無法執行假設檢定，則我們不知道做出來的實驗結果究竟能不能被統計學所接受。就算不談假設檢定，而只是想了解我們拿到的資料究竟服從哪種機率分配，若我們不知道母體服從的機率分配，則這些資料的機率分配也很難知道。

        幸好至少還可能知道這個資訊：如果我們從一個未知的母體分配中抓出一堆變數：X_1, X_2, ..., X_n，其中平均數為μ，變異數為σ^2，則這堆樣本的期望值就是μ，變異數為(σ^2)/n。

         可是我們就是很想知道樣本到底服從哪種機率分配啊?這樣要做統計分析還是比較方便，因此需要做一件事情，就是將樣本數量增加，讓它變得足夠大，這樣就能找到樣本服從的「漸近分配」(Asymptotic Distribution)。那麼漸近分配是哪種機率分配呢?這就是「中央極限定理」(Central Limit Theorem)的精神所在了：樣本平均數的漸近分配是平均數為μ，變異數為(σ^2)/n的常態分配。

        中央極限定理在統計學上佔有一席之地，原因是從實務角度來講，它告訴我們：隨機樣本的總和，無論原先型態怎麼樣，只要數量大到某種程度是會服從常態分配的。知道機率分配以後要執行各種分析都會變得方便很多。

        為了說明中央極限定理，以下為丟擲公正硬幣次數增加，正面朝上的次數之機率分配。

從圖中能夠發現，隨著硬幣數量增加，正面朝上次數之機率會愈來愈接近常態分配。圖片解釋了中央極限定理之精神。

依分配收斂(Convergence in Distribution)與中央極限定理

       若要用更嚴謹的方式闡述中央極限定理，首先我們要知道一個樣本收斂的方式：依分配收斂(Convergence in Distribution)。對於一個隨機樣本的數列(Sequence of random variables)，對應到的累積密度函數為F_n(x)，定義「依分配收斂」為

嚴謹版本的中央極限定理(Lindeberg-Levy C.L.T)也是從「依分配收斂」定義的

樣本之漸近分配是常態分配是個相當好的性質。許多經濟學理論都沒有給出參數應該服從什麼機率分配，所以估計參數上會遇到一些技術上的麻煩，幸好前人已經幫我們想好做法，就是由芝加哥大學教授Lars Peter Hansen所推出的廣義動差法(Generalized Method of Moments, GMM)，它的其中一個特性也是常態分配是漸近分配。

• Generalized Method of Moments by 遠得要命的數學王國

其餘心得 (Math Camp的制度)

        最近我正在看倫敦政經學院(LSE)經濟系發給我們的Math Camp的教材，內容主要就是要幫助大家複習以前大學時學過的數學，因為讀研究所(或者是當博士生)時那些數學仍然會用上，但是一段時間沒有接觸後，對於數學的感覺往往會變得遲鈍，因此國外絕大多數的經濟博士或是財金博士，正式報到以前都會有這種Math Camp的制度幫大家複習數學，讓大家重新找回對數學的感覺。

         當我看到這些講義時，也赫然發現到雖然對於大部分的內容都還算熟悉，可是有一部分的內容已經忘掉而需要複習，甚至也有少數內容是在台灣沒有教到的，因而需要透過Math Camp的教材補起來。尤其對於某些數理統計的東西，有些內容是當初沒能融會貫通的，暑假以來看了Math Camp的東西以後就把概念補起來了，其中一部分就是今天所寫的中央極限定理與漸近分配。希望明天以後到英國讀書能夠順利適應他們的環境。

• LSE MSc Finance and Economics 申請心得 by 遠得要命的數學王國

        今年由LSE經濟系開課，PhD Economics, PhD Finance與某些經濟與財金相關的碩士必修的Math Camp一共由4門課組成

• Revision Mathematics (微積分+線性代數+高等微積分的大雜燴)
• Probability and Statistics Inferences (數理統計學)
• Math for Microeconomics (優化理論)
• Math for Macroeconomics (有一部分的微分方程)

其實看過講義以後，我真心覺得Math Camp並不是讓完全沒有數學基礎的人，透過制度讓他們搖身一變成為大內高手的。以Revision Mathematics為例，今年就有發下145頁的筆記(就很像是課本的形式整理起來的)，內容還包括有習題，其中一部分是要我們前往LSE之前要先讀完的，到了LSE以後，Revision Mathematics這門課只會花兩天的時間，用兩堂正課與兩堂討論課幫大家複習這145頁的內容。因此個人並不覺得是給沒有數學基礎的人來上的，而應該是假設大家都會絕大多數的內容以後，讓大家看看自己還缺了哪些概念。

        我也有先去複習Probability and Statistics Inferences的講義(前輩提供的)還有Math for Micro的講義，也是發現到前者講義也多達108頁(含習題)，後者寫得很簡潔，只有33頁。而Probability and Statistics Inferences只有用10天時間用正課與討論課時間去複習內容，Math for Micro只用6天。只可惜Math for Macro似乎是今年才新增的，因此目前沒有發教材讓我們先去複習。但總而言之，要去讀研究所之前，應該是要先好好奠基自己的必備實力，讓研究所學歷變成錦上添花的因素。而並非到研究所才想到哪些最必要的東西需要補起來。

• Math Camp for PhD Economics/PhD Finance by 遠得要命的數學王國

參考資料
[1] London School of Economics EC400: Introductory Course in Mathematics and Statistics Handout