Black-Scholes選擇權訂價模型在1973年提出，發表於《政治經濟雜誌》(Journal of Political Economics)上，其中一位提出此模型的教授:史丹佛大學教授Myron Scholes，以及後來將Black-Scholes選擇權訂價模型加以改良的哈佛商學院教授Robert Merton，共同因為此模型而獲得了1997年的諾貝爾經濟學獎。另外一位提出Black-Scholes的數學家Fischer Black則是不幸於1996年，因為癌症而與世長辭，未能獲得隔年的諾貝爾經濟學獎殊榮。
Fischer Black
Myron Scholes
Black-Scholes選擇權訂價模型在提出後的30年間，對金融市場產生了不小的影響力。人們得以了解選擇權的結構、合理的價格，其中在Black-Scholes選擇權訂價模型問世以後，當時的芝加哥選擇權交易所(Chicago Board Options Exchange, CBOE)更是很快意識到此模型的重要性，利用程式輸入到當時電腦剛開始應用於商業交易的系統上。今日隨著程式日漸發達，而且Black-Scholes選擇權訂價模型的衍生型愈來愈多，市場上交易的債券、期貨、選擇權等等也有愈來愈多種類的情況下，國際金融市場的交易也愈來愈有效率，商品之間以及交易所之間的依存度也愈來愈高，不過市場面對的危機也因此愈來愈多樣化。
芝加哥選擇權交易所(CBOE)是全世界第一家選擇權交易所
長期資本管理公司(Long Term Capital Management, LTCM)事件
以上這件發生於1998年9月23日的事件，即為金融界中著名的危機之一。LTCM於1994年2月於距離紐約市不遠的格林威治市(Greenwich)成立(嗯，在我還沒查到這個案之前，我都不知道原來美國也有格林威治啊)，但是短短4年後就被JP Morgan Chase & Co 以及Merrylich共同出資接收了。LTCM主要的掌門人有:
- 號稱「華爾街債務套利之父」的Meriwether
- 前美國聯準會副主席David Mullis
- 前所羅門兄弟(Salomon Brothers，當年倒閉以前也是市場上數一數二大型的投資銀行)債券交易部主管Rosenfeld
- Robert Merton, Myron Scholes
是的，您沒有看錯，Black-Scholes的提出者也是LTCM的掌門人之一。為了讓大家了解，何以聚集了諾貝爾經濟學獎得主，以及美國聯準會副主席等等大咖的公司，竟然會在創辦後4年就走向死亡，以下要先讓各位了解Black-Scholes選擇權訂價模型所做的假設，因為跟破產原因其實脫離不了關聯:
Black-Scholes選擇權訂價模型的假設
- 股價報酬動態服從常態分佈(假定股價服從Ito Process，也就是說股價波動度是常數)
- 股票可以無限分割，而且交易為連續進行
- 無風險利率存在，而且是常數
- 沒有交易稅與手續費，亦沒有交易成本
- 股票可以無限放空
其中第一項假設，也就是假定股價報酬動態為常態分佈，為最後造成LTCM倒閉的一項關鍵因素。他們的模型主要就是採用Black-Scholes選擇權訂價模型，套用了歷史資料以後輸入到電腦自動交易模型中，並且在風險投資策略上採用「收斂交易」(Convergence Trading)，也就是不把商品漲跌納入考量，而認為商品價格報酬應該是會收斂到常態分配上。
LTCM最大的賭注之一，就是他們賣空了29年期美國國庫券，並且買入30年期的美國國庫券，並且假設兩者價格應該會收斂(也就是預期29年期的國庫券價格下跌，30年期的價格則是上升，兩者價格趨於一致)。然而，1997年亞洲(起因自泰國)以及俄羅斯都接連發生了金融風暴，債券到期年限愈長，風險通常愈高(因為時間愈長則不確定性愈多)，許多驚慌失措的投資人紛紛買入了看似更安全的29年期國庫券，造成29年期的國庫券價格被拉抬，兩種年期的國庫券價格反而呈現發散狀態，讓LTCM的如意算盤落空。其他一些類似的收斂交易也都因為商品價格沒有收斂而以失敗告終。
此外，幾乎任何模型都存在有它的缺陷。LTCM採用的Black-Scholes選擇權訂價模型，就是忽略掉了市場發生極端事件的可能性，導致該公司最後邁向戲劇化的結局。人們使用模型時，首先應該要確認什麼樣的情況下應該要適用何種模型，並且要隨時機應變。
LTCM最大的賭注之一，就是他們賣空了29年期美國國庫券，並且買入30年期的美國國庫券，並且假設兩者價格應該會收斂(也就是預期29年期的國庫券價格下跌，30年期的價格則是上升，兩者價格趨於一致)。然而，1997年亞洲(起因自泰國)以及俄羅斯都接連發生了金融風暴，債券到期年限愈長，風險通常愈高(因為時間愈長則不確定性愈多)，許多驚慌失措的投資人紛紛買入了看似更安全的29年期國庫券，造成29年期的國庫券價格被拉抬，兩種年期的國庫券價格反而呈現發散狀態，讓LTCM的如意算盤落空。其他一些類似的收斂交易也都因為商品價格沒有收斂而以失敗告終。
在亞洲金融風暴期間，各種商品價格並沒有如LTCM所預期的收斂，導致LTCM因為投資失利而有不少的虧損。
「小機率事件」 (Small Probability Event)
LTCM的噩夢並沒有結束。緊接著他們又預測亞洲市場的利率會趨於穩定，並且與美國政府公債利率之間之差距會逐漸縮小。通常美國政府公債利率因為違約機率很低，在金融市場上被廣泛認為是無風險利率，而不同國家之間的殖利率大小也間接反映了國家違約的機率高低，因為公債殖利率愈高代表該國違約機率愈高，因此當時亞洲國家的公債殖利率是飆高的。
可是LTCM的模型還有另外一個致命的隱憂，即他們的模型採用的數據是歷史資料。採用歷史資料的缺陷在於，一些機率非常非常小的事件很常被忽略掉(在統計學上被稱作「小機率事件」)，而且LTCM模型又是採用Black-Scholes選擇權訂價模型，基於報酬率是常態分佈的假設，更不可能注意到金融市場上，極端事件發生的可能性。結果在1998年8月，市場極端事件真的發生了。由於國際石油價格不斷下跌，俄羅斯經濟不斷惡化，俄羅斯盧布(貨幣單位)大幅貶值，結果政府被迫宣布停止國債交易，投資人紛紛轉向風險較小的美國以及德國公債。結果，LTCM再度看錯方向，此事件也成了壓垮他們的最後一根稻草，同年9月23日，在美國聯準會的安排下，JP Morgan Chase & Co 以及Merrylich等15間金融機構用37.25億美元共同出資接收了LTCM，從而宣布了LTCM戲劇化的結局。
LTCM事件帶給我們的啟示
人人都會犯錯，金融市場沒有聖人。就連提出了Black-Scholes模型的經濟學家，1997年的諾貝爾經濟學獎得主，都會犯下了看錯市場的錯誤導致公司瀕臨垮台邊緣，何況是更多的老百姓們。因此絕對不可盡信權威，人們一定要有自己的判斷力。此外，幾乎任何模型都存在有它的缺陷。LTCM採用的Black-Scholes選擇權訂價模型，就是忽略掉了市場發生極端事件的可能性，導致該公司最後邁向戲劇化的結局。人們使用模型時，首先應該要確認什麼樣的情況下應該要適用何種模型，並且要隨時機應變。
Black-Scholes選擇權訂價公式推導
Black-Scholes選擇權訂價公式雖然有諸多爭議，仍然是金融市場中影響力最大的模型之一。它的訂價是假設在所有商品的平均報酬率皆為無風險利率的世界中(也就是財務數學中的「風險中立測度(Risk-Neutral Measure)」，而且也沒有任何套利機會(No-Arbitrage Opportunity)。
Black-Scholes選擇權(買權)訂價公式
以上的S(t)代表在時間t時的股價，K代表選擇權的履約價(表示我擁有權利，能夠在契約到期時，用這個價格買進股票)，r為無風險利率，T為買權到期的時間，σ為股價報酬波動度(在此為常數)。根據簡單的微積分，將選擇權公式對股價做偏微分後，就可以得到N(d1)，財務意涵是股價上漲1單位時選擇權價格會上漲N(d1)單位;N(d1)同時也代表投資銀行如果要沖銷掉風險，發行1單位的買權時必須同時買進這麼多單位的股票。
以下至少有2種方式可以推導出Black-Scholes選擇權訂價公式:
- 期末報酬的期望值依照連續折現回期初
- 建構出買權的無風險投資組合以後，得到偏微分方程式(Partial Differential Equation, PDE)，求解此PDE即可得到訂價公式。
- 兩者之間的連結=Feynman-Kac Theorem
因為選擇權賦予買方在到期時用某個價格(履約價K)買進標的資產(股價S)的權利，而歐式買權僅能在到期時履約，歐式買權的期末報酬(時間T)是max(S(T)-K,0)，此代表選擇權買方在到期時，如果發現股價小於履約價時，他有權利拒絕履約。所以Black-Scholes選擇權訂價公式就是把上述的C(T)換成max(S(T)-K,0)即可。
第二種方法則是要建構出一個無風險的投資組合(無風險意思是投資組合裡面沒有任何隨機變數，也就是在任何時間都可以完全確定變數的值)，先推導出以下的PDE:
接著，我們可以先把此類型的PDE轉換成熱傳導方程(Heat Equation)的型態，再利用傅立葉變換把已經轉換成熱傳導方程形式的Black-Scholes PDE解開，PDE的封閉解也是Black-Scholes選擇權訂價公式。(嗯，推導的式子實在是太長一串了，恕在下懶得把它們全部打出來XD)
Feynman-Kac定理則是告訴我們，以上兩種方式得到的結果完全相同。根據Feynman-Kac Theorem，以上的偏微分方程，只要期末報酬函數C(T)是Borel measurable，則求解函數期望值折現等同於求解偏微分方程。以上的定理提供了一個相對於轉換成熱傳導方程更容易的PDE解法。
在Black-Scholes PDE當中，一階導數稱作"Delta"，二階導數稱作"Gamma"。實務運用上，Black-Scholes PDE可以幫助投資人了解到，買進多少單位的股票可以達到"Delta Neutral"的情況(也就是說股價漲跌不會影響到投資組合變動,Delta變為0)，甚至可以達到 Delta-Gamma Hedging的效果。可以說，數學對於金融市場也是一個非常重要的推手。
中文參考資料
[1] 金融工程學(2009)，陳松男，3版
[2] 選擇權理論 、實務與風險管理(2010)，陳威光，再版
[3] MBA智庫百科_LTCM
References
[1] Black, F. and Scholes, M. (1973), The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 81, pp. 637-654
[2] Cox, J. C. and Ross, S. A. (1976), The Valuations of Options for Alternative Stochastic Processes, Journal of Financial Economics, 3, pp. 145-166
[3] Hull, J., Options, Futures and Other Derivatives, 8th ed.
[4] Shreve, Introduction to Stochastic Calculus, 2nd ed.
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