Peano Axioms

        雖然自然數的發展歷史已經超過兩千年，但是建立起公理化系統則是近百年前的事情了。義大利的數學家皮亞諾(義大利文:Giuseppe Peano, 1858~1932)於1889年在其著作《算術原理》提出了對於自然數的五大公理，透過皮亞諾公理可以建立起算術系統。五條公理分別如下：

• 1為自然數
• 每個確定的自然數都有其後繼的自然數
• 對於每個自然數a, b, a=b若且唯若(a的後繼數)=(b的後繼數)
• 1並非任何自然數的後繼數
• 任意關於自然數的命題，證明了對於自然數1為真，也假設了對於自然數n為真，若能證明對於n之後繼數也為真，則命題對於所有自然數皆為真

         其中，如果將0也視為自然數，則1要更換為0，而第五公理成了數學歸納法(Mathematical Induction)的基礎，它確保了數學歸納法證明出來的定理是正確的。依此，雖然數學歸納法當中有「歸納」二字，它實質上是在一個有明確前提下能推導出正確結果的演繹法。所有的數學證明皆為演繹法。

義大利數學家Giuseppe Peano