本文要跟大家介紹的，是數學所的實分析課程(中國是大學就會教到了，而在歐美國家，部分學校的Real Analysis是指高等微積分)剛開始會帶到的一個主題，而這個主題幾乎是貫通了實分析的研究主題—測度(Measure)。也因為測度是實分析最重要的主軸，許多在實分析會碰到的定理都跟測度脫離不了關聯，所以在歐美國家，有部分學校的實分析被稱作「測度論」(Measure Theory)。以下切入正題:
σ-Algebra
要了解測度，首先應該要了解何謂σ-Algebra。要了解何謂σ-Algebra，則首先得要了解冪集合(Power Set)。假設有一個集合S，S的冪集合P(S)就是S的所有子集合(Subset)形成的集合，ZFC集合論(公理化集合論)得以確保任何集合的冪集合均存在。了解冪集合的概念後我們就可以開始定義σ-Algebra了(以下節錄自我的實分析上課筆記):
測度
了解σ-Algebra的概念以後就可以開始定義測度了(以下節錄自我的實分析上課筆記):
數學上有相當多測度的例子。高中課本或者是大學離散數學教過的集合元素個數(Cardinality)，其實就是一種計數測度(Counting Measure);在實分析當中會被不斷提及的勒貝格測度(Lebesgue Measure)，則是在歐幾里得空間中，賦予子集長度、體積與面積等等的標準方法，而如果某個集合得以被賦予體積(測度)的概念則被稱作「勒貝格可測」(Lebesgue Measurable);另外在金融工程、財務數學以及經濟數學上則會很常看到機率測度(Probability Measure)，為總測度為1的測度空間。
實分析有相當多定理都與測度性質有關，為了方便在下往後提及與實分析相關的概念時各位看倌得以更加快速上手，我要簡單介紹測度的性質(以下節錄自我的實分析上課筆記):
透過以上的測度性質，再回頭想想以前高中時或者在大學數理統計課學過的機率，應該可以很快發現，機率也是一種測度，所以將測度概念套用於機率上就會了解何以機率的性質是那樣。
參考資料:
[1] 政大應數所必修課實變函數論上課筆記
[2] Royden, H. L. (1988), Real Analysis, 3rd ed.
您好！我是明年準備去念經濟博士的政大畢業生，聽學長姐們的經驗，若未來經博的課程若能修過實分析會相對輕鬆，因此我在想下學期可以回政大旁聽實分析2，然而實分析1需要靠自學。曾經修過陳天進老師的高微，覺得如果自己念他的上課筆記搭配課本應該會很扎實，因此，想請問學長實分析的上課筆記是否都還留著，不曉得能不能跟您借您的筆記來自學？謝謝！
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