敝人在上一篇文章《Introduction to Measure》中簡單介紹了測度的性質，這一篇要簡單介紹如何透過外測度(Outer Measure)來建構測度。「測度」原則上就是將一個集合賦予某個數；「外側度」則是將某個集合的冪集合(Power Set)賦予某個數。我只要可以說明外側度等於測度，就能完成用外側度來建構測度的過程。
外側度(Outer Measure)與其性質
要定義外側度以前，首先回顧一下在高等微積分學過的Lindelöf's Covering Theorem:任意實數空間上的子集合可以被可數多個(Countabally many)開區間(Open interval)覆蓋，則依此我們可以定義集合A的外側度m*(A)為:
已知外側度的定義以後，我們就可以分析外側度的各種性質:
透過外側度建構測度的方法
以上說明外側度的性質，接著要說明建構測度的方式:
- 首先，m*為冪集合映射到正實數域的一個函數，它是在實數域上的外側度
- 外側度會在實數域上產生σ-Algebra M=M1
- 則m*=m1=m: m就是在實數域上的測度
- 測度=外側度
- 測度建構完畢
介紹過外側度以後，除了能簡單了解測度如何被建構 ，也可以依此定義可測集合(Measurable set)與可測函數(Measurable functions)，而可測的概念將在實分析課程當中不斷地被提起。
參考資料:
[1] 政大應數所必修課實變函數論上課筆記
[2] Royden, H. L. (1988). Real Analysis, 3rd ed.
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