我們可以藉由手拉坏親眼見識到拓撲學
「拓撲學」一詞最早來自於德國數學家利斯廷(德語:Johann Benedict Listing)在1847年於 《Vorstudien zur Topologie》書中提出(書名直譯是「拓撲學導論」)，日文則是翻譯為「位相幾何學」，主要是要研究在某個空間中，經由展延或彎曲等等的作用下得以維持不變的性質。此學門主要延伸自集合論與幾何學，但是現今的數學分析基礎課程(也就是高等微積分)也會教到拓撲學。雖然拓撲學作為數學的一大分支是在20世紀中葉以後的事情，但是早在18世紀就已經有類似的研究在進行。瑞士數學家歐拉(德語:Leonhard Euler)在1735年提出的哥尼斯堡七橋問題(德語:Königsberger Brückenproblem)(英語:Seven Bridges of Königsberg)就被廣泛地認為是最早的拓撲學定理。當時位在東普魯士的哥尼斯堡(現今俄羅斯的加里寧格勒Калининград, Kaliningrad)橫跨某座大河，而河中心有一座小島，與河的兩岸有7座橋連接，在所有橋都只能走一次的情況下要如何把所有的橋走完?
1735年時的哥尼斯堡(現今歸屬俄羅斯管轄)
歐拉表示這一題沒有解法，而他透過畫圖的方式嘗試解決問題的方式後來漸漸演變成了數學當中的「圖論」(Graph Theory)，在離散數學課會教到，在計算機科學領域則有廣泛的應用。
拓撲學下面還有許多的分支。點集拓撲學(Point Set Topology)算是拓撲學的最基礎，在高等微積分課程當中基本上會接觸到，主要是要研究拓撲空間(Topological space)上數學結構的基本性質:開集合(Open)、閉集合(Closed)、鄰域(Neighborhood)、緊緻性(Compactness)、連通性(Connection)以及遍稀疏(Nowhere dense)等等的都是點集拓撲學會探討的東西。
R^2上的弧連通集(Path-Connected Set)也是點集拓撲學探討的主題
在個體經濟學領域當中，我們必須假設效用函數(Utility Function)符合"Local Nonsatisation, LNS"，也就是說對於某項物品，就算它的數量僅有微小到不能再微小的變化，消費者必然也會產生偏好的改變。這裡也必須要用拓撲學來定義。假定兩條效益曲線之間有個非常微小的差距 ε，則兩條效益曲線之間必然相隔著一個半徑為 ε的開球(Open ball)，確保效益曲線不會重疊到。
研究拓撲學也可以透過代數方法，稱作「代數拓撲」(Algebraic Topology)。我們得以在某個代數結構上定義某個序列，然後研究代數不變量，藉此研究拓撲的性質。而微分幾何與微分拓撲則是會被用來研究在流形(Manifold，局部具有歐幾里德性質的空間)上的可為函數與幾何學的學問，在相對論上有很多應用。
就連機器人的姿勢如何設計也有數學上的應用。機器人的姿勢可以利用在某個流形上的兩點間設計不同的路徑，表示從關節移動到其他部位時所需要的擺動長度以及幅度等等的，也算是幾何拓撲的一項應用。
機器人的姿勢設計有時也會牽涉到拓撲學
參考資料:
[1] 台大數學系高等微積分開放式課程講義
[2] Rudin, W.(1953), Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed.
[3] Craig, J. J.(2004), Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 3rd ed.
[4] 哥尼斯堡七橋問題
[5] London School of Economics EC411: Microeconomic Theory Handout
[6] 拓撲學
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