Mean Value Theorem and Econometrics

臉書版連結:https://www.facebook.com/MathKingdomFaraway/

      就計量經濟學而言，我們要推導某些統計量，會牽涉到均值定理(Mean Value Theorem)。此定理敘述某個平滑函數(Smooth function)的一個區間當中，存在某個點使得兩端點間的割線(Secant)斜率等於切線(Tangent)斜率，從泰勒展開式的角度來講，存在有某個值使得泰勒展開式為正合(Exact)

        在此θ bar位於X_n與θ之間。均值定理是從洛爾定理(Rolle's Theorem)推廣而來的，後者指的是在兩端點間，存在有某個點使得在該點的切線斜率為0。計量經濟學的傳統通常是取平均值作為那個 θ bar，如果一筆資料大致上對稱(即沒有一端處於太極端的狀態)，則平均數大致上可以反映一筆資料整體而言的行為，而且如果θ hat是個一致性統計量，則θ hat也會有一致性(註1)，這能讓我們消除掉漸近誤差(Approximation error)。

應用1--Delta Method

        這就是均值定理在計量經濟學的一個應用。要推導某些檢定統計量時這個方法相當實用，簡單來講如果存在某個隨機變數的序列(Sequence of random variables)滿足:

其中X_n依機率收斂至θ，則對於任何可導函數g，隨機變數的函數滿足以下性質

[證明]

應用2--推導三位一體檢定(Trinity Test)

        三位一體檢定前陣子有跟各位介紹過，包含有Wald Test, Likelihood Ratio Test (LR)與Lagrange Multiplier Test (LM)，其中Wald Test與LM的統計量都是從Delta Method推導而來的(如筆記圖片所示)

應用3--廣義動差法(Generalized Method of Moments)漸近分配

           廣義動差法的漸近分配是常態分配，這也可以從均值定理推導而來。先前在本篇有跟各位介紹廣義動差法有許多很漂亮的性質，其中一個就是確保統計量擁有常態漸近分配，推導過程主要會運用到均值定理，以及對於廣義動差法的一些假設。

          廣義動差法運作方式為

則依據均值定理以及一些代數運算，可以推導漸近分配

(註1) 請參考"Continuous Mapping Theorem"

參考資料
[1] Hall, A. "Generalized Method of Moments"
[2] Hansen, B. "Econometrics"